第五章　三角函数测评卷 2021-2022学年数学必修第一册人教A版2019（Word含解析）

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册全册综合课后作业题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第五章　三角函数
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
1.(2021广东广州广雅中学高一上期末)sin(-1 380°)的值为 (　　)
A.-12　　　　B.12　　　　C.-32　　　　D.32
2.(2021安徽师范大学附属中学高一上期末)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点在坐标原点,其终边上的一点P到原点的距离为2,若α=π4,则点P的坐标为 (　　)
A.(1,2)　　　　　　　 B.(2,1) C.(2,2)　　　　　　　D.(1,1)
3.(2021湖南永州高一上期末)扇形的半径为1,圆心角为2,则扇形的面积为 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
4.(2021天津六校高一上期末联考)设α∈R,则“α=π3+2kπ,k∈Z”是“cos α=12”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件
5.(2021江苏扬州高一上期末)设函数f(x)=sin2x-5π6,将其图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则φ的最小值是 (　　)
A.π6　　　　B.π3　　　　C.2π3　　　　D.5π6
6.(2021福建南平高一上期末)我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”,0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字,我们称为黄金分割.“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,华先生认为底与腰之比为黄金分割比5-125-12≈0.618的黄金三角形(即顶角为36°的等腰三角形)是“最美三角形”.如图,在黄金△ABC中,黄金分割比为BCAC.试根据以上信息,计算sin 18°= (　　)

A.5-12　　　　　　　B.5-14 C.5+14　　　　　　　D.3-52
7.(2021湖北第五届高考测评高一上期末)已知函数f(x)=sinx-π6,若方程f(x)=45的解为x1,x2(0 A.-32　　　　B.32　　　　C.12　　　　D.-12
8.(2021四川眉山高一上期末)已知ω>0,函数f(x)=2sinωx+π6在π2,5π6上单调递减,则实数ω的取值范围是 (　　)
A.(0,1]　　　　　　　B.12,85
C.23,56　　　　　　　D.23,85
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021山东泰安高一上期末)若α为第二象限角,则下列结论一定正确的是 (　　)
A.sin α>cos α　　　　　　　B.sin α>tan α
C.sin α+cos α>0　　　　　　　D.cos α+tan α>0
10.(2021山东烟台高一上期末)下列说法正确的有 (　　)
A.经过30分钟,钟表的分针转过-2π弧度
B.若sin θ>0,cos θ<0,则θ为第二象限角
C.若sin θ+cos θ>1,则θ为第一象限角
D.函数f(x)=sin|x|是周期为π的偶函数
11.(2021山东济宁高一上期末)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=-15,则下列结论正确的是 (　　)
A.θ∈π2,π　　　　　　　B.cos θ=-35
C.tan θ=-34　　　　　　　D.sin θ-cos θ=75
12.(2021山东菏泽高一上期末)设函数f(x)=sin2x+π4+cos2x+π4,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是 (　　)
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)在0,π2上单调递减
C.函数f(x)的最大值为2
D.函数f(x)的图象关于点π4,0对称
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021安徽淮南高一上期末)已知α为第二象限角,sin α=45,则tan 2α=　　　　. 
14.(2021四川成都蓉城名校联盟高一上期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f -π12=　　　　. 

15.(2021北京东城高一上期末)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,它的终边与单位圆交于第一象限内的点Pm,1213,则tan α=　　　　.保持角α始边的位置不变,将其终边按逆时针方向旋转π2得到角β,则cos β=　　　　. 
16.(2021福建厦门高一上期末)2020年是苏颂诞辰1 000周年.苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮,是一个直径约3.4米的水轮,它转一圈需要30分钟.如图,当点P从枢轮最高处按逆时针方向随枢轮开始转动时,退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口,壶内水位以每分钟0.017米的速度下降,将枢轮转动视为匀速圆周运动,则点P至少经过　　　　分钟进入水中.计算结果取整数,参考数据:cos π15≈0.98,cos 2π15≈0.91,cos π5≈0.81 

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021天津东丽高一上期末)已知sin(π+α)=-45,α∈π2,π,求:
(1)sinπ2+α+2cos(π-α)sinπ2-α+sin(-α)的值;
(2)tan15π4-α的值.



18.(12分)(2021吉林高一上期末)已知函数f(x)=3sin x2cos x2+cos 2x2+12.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)将函数y=f(x)的图象上的各点　　　　,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合. 
请在①、②两个条件中选择一个,补在(2)中的横线上,并加以解答.
①向左平移3π2个单位长度,再保持纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半;②纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的一半,再向右平移π4个单位长度.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.









19.(12分)(2021海南高一上期末)已知函数f(x)=sin 2x-3(cos2x-sin2x).
(1)求f π6;
(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间.









20.(12分)(2021江苏南京高一上期末)如图,弹簧挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h=Asinωt+π4确定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.
(1)求小球相对于平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式;
(2)若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50,求t0的取值范围.





21.(12分)(2021河北唐山高一上期末)如图,在Rt△ACB中,斜边AB=2,BC=1,在以AB为直径的半圆上有一点D(不与端点重合),∠BAD=θ,设△ABD的面积为S1,△ACD的面积为S2.
(1)若S1=S2,求θ;
(2)令S=S1-S2,求S的最大值及此时的θ.




22.(12分)(2021河南郑州高一上期末)设有三个乡镇,分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M,N及PQ的中点S处,MN=103 km,NP=53 km,现要在该矩形区域内(含边界),且与M,N等距离的一点O处设一个宣讲站,记O点到三个乡镇的距离之和为L(km).
(1)设∠OMN=x(rad),试将L表示为x的函数并写出其定义域;
(2)试利用(1)中的函数关系式确定宣讲站O的位置,使宣讲站O到三个乡镇的距离之和L(km)
最小.






答案全解全析
1.D　sin(-1 380°)=sin(-1 440°+60°)=sin(-4×360°+60°)=sin 60°=32.故选D.
2.D　设P(x,y),由三角函数的定义得sin α=sin π4=y2=22,
cos α=cos π4=x2=22,则x=1,y=1.∴点P的坐标为(1,1).故选D.
3.A　由扇形的半径为1,圆心角为2,可得扇形的弧长为2,所以扇形的面积为12×2×1=1,故选A.
4.A　当α=π3+2kπ,k∈Z时,cos α=12;当cos α=12时,α=2kπ±π3,k∈Z,
故“α=π3+2kπ,k∈Z”是“cos α=12”的充分不必要条件,故选A.
5.A　将函数f(x)=sin2x-5π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,
得到函数g(x)=sin2x+2φ-5π6的图象.
若g(x)为偶函数,则2φ-5π6=kπ+π2,k∈Z,则φ=kπ2+2π3,k∈Z,
又φ>0,所以令k=-1,可得φ的最小值为π6,故选A.
6.B　在△ABC中,设D是BC的中点,连接AD.依题意得BCAC=2DCAC=5-12,
所以DCAC=5-14,又∠BAC=36°,所以∠DAC=18°,
从而sin 18°=DCAC=5-14.故选B.
7.A　令x-π6=π2+kπ,k∈Z,
得x=2π3+kπ,k∈Z,
故函数f(x)=sinx-π6的图象的对称轴方程为x=2π3+kπ,k∈Z,
令f(x)=45,得x=x1或x=x2,0 易知x1,x2关于直线x=2π3对称,故x1+x2=4π3,
∴sin(x1+x2)=sin 4π3=-32.故选A.
8.D　∵ω>0,∴由π2≤x≤5π6,得π2ω+π6≤ωx+π6≤5π6ω+π6,
又∵函数f(x)=2sinωx+π6在π2,5π6上单调递减,
∴12×2πω≥5π6-π2,∴0<ω≤3①.
易得π2ω+π6≥π2+2kπ,且5π6ω+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,
解得ω≥23+4k,且ω≤85+125k,k∈Z,即4k+23≤ω≤85+12k5,k∈Z,
结合①可得k=0,即23≤ω≤85.故选D.
9.AB　因为α为第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,tan α<0,所以A、B正确,D不正确;
当α∈π2,3π4时,sin α+cos α>0,当α∈3π4,π时,sin α+cos α<0,所以C不一定正确.故选AB.
10.BC　对于A,经过30分钟,钟表的分针转过-π弧度,不是-2π弧度,所以A错误;
对于B,由sin θ>0,cos θ<0,可知θ为第二象限角,所以B正确;
对于C,sin θ+cos θ>1⇒sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ>1⇒2sin θcos θ>0,
又sin θ+cos θ=1>0,
所以sin θ>0,cos θ>0,即θ为第一象限角,所以C正确;
对于D,函数f(x)=sin|x|是偶函数,但不以π为周期,如fπ2=1, fπ+π2=-1, fπ2≠fπ+π2,所以D错误.故选BC.
11. ACD　因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,又sin θ+cos θ=-15<0,所以cos θ<0,所以θ∈π2,π,故A正确;又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=125,所以sin θcos θ=-1225,
所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=4925,因为sin θ>0,cos θ<0,所以sin θ-cos θ=75,故D正确;由sinθ+cosθ=-15,sinθ-cosθ=75,可得sinθ=35,cosθ=-45,所以tan θ=-34,故B错误,C正确.故选ACD.
12.ABD　∵函数f(x)=sin2x+π4+cos2x+π4=2sin2x+π4+π4
=2sin2x+π2=2cos 2x,
∴f(x)=2cos 2x,其定义域为R,
∵f(-x)=2cos(-2x)=2cos 2x=f(x),∴函数f(x)为偶函数,故A正确;
令2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z),解得kπ≤x≤π2+kπ(k∈Z),可得函数f(x)在0,π2上单调递减,故B正确;
易得f(x)的最大值是2,故C错误;
令2x=kπ+π2,k∈Z,解得x=kπ2+π4,k∈Z,可得当k=0时,其图象关于点π4,0对称,故D正确.故选ABD.
13.答案　247
解析　∵α为第二象限角,且sin α=45,
∴cos α=-1-sin2α=-35,∴tan α=sinαcosα=-43.
∴tan 2α=2tanα1-tan 2α=-831-169=247.故答案为247.
14.答案　12
解析　根据函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象,
可得12·2πω=π3+π6,∴ω=2.
由五点法作图,可得2×π3+φ=π,∴φ=π3,∴f(x)=sin2x+π3,
∴f-π12=sin π6=12,故答案为12.
15.答案　125;-1213
解析　因为角α以Ox为始边,它的终边与单位圆交于第一象限内的点Pm,1213,
所以m=1-12132=513,则tan α=1213513=125.
保持角α始边的位置不变,将其终边按逆时针方向旋转π2得到角β,则cos β=cosα+π2=
-sin α=-1213.
故答案为125;-1213.
16.答案　13
解析　以枢轮中心为原点,以平行于水面的方向为x轴建立坐标系(图略).则
经过x分钟后P点纵坐标y1=1.7sinπ2+π15x=1.7cos π15x,水面纵坐标y2=-1.19-0.017x,
P点进入水中,则1.7cos π15x<-1.19-0.17x,即cos π15x<-0.7-0.01x.
作出y=cos π15x和y=-0.7-0.01x的图象(图略),易知在[10,15]上两函数图象存在一个交点,令h(x)=cos π15x+0.7+0.01,
因为h(12)>0,h(13)<0,所以点P至少经过13分钟进入水中.
17.解析　∵sin(π+α)=-sin α=-45,α∈π2,π,
∴sin α=45,cos α=-1-sin2α=-35, (2分)
从而tan α=sinαcosα=45-35=-43, (3分)
(1)sinπ2+α+2cos(π-α)sinπ2-α+sin(-α)=cosα-2cosαcosα-sinα=-cosαcosα-sinα=-37. (5分)
(2)tan15π4-α=tan4π-π4-α=tan-π4-α=-tanπ4+α (7分)
=-tan π4+tanα1-tan π4tanα=17. (10分)
18.解析　(1)f(x)=3sin x2cos x2+cos2x2+12=32sin x+1+cosx2+12 (2分)
=sinx+π6+1, (4分)
可得函数f(x)的最小正周期为2π. (6分)
(2)若选择①,依题意可得g(x)=-cos2x+π6+1, (8分)
令2x+π6=2kπ+π,,k∈Z,解得x=kπ+5π12,k∈Z,
此时函数g(x)取得最大值2,即g(x)max=2, (10分)
函数g(x)取得最大值时,x的取值集合为x|x=kπ+5π12,k∈Z. (12分)
若选择②,依题意可得g(x)=-cos2x+π6+1, (8分)
令2x+π6=2kπ+π,k∈Z,解得x=kπ+5π12,k∈Z, (10分)
此时函数g(x)取得最大值2,即g(x)max=2,
函数g(x)取得最大值时,x的取值集合为x|x=kπ+5π12,k∈Z. (12分)
19.解析　(1)∵f(x)=sin 2x-3(cos2x-sin2x)=sin 2x-3cos 2x (2分)
=2sin2x-π3, (4分)
∴fπ6=2sin 0=0. (6分)
(2)由(1)知f(x)=2sin2x-π3,故f(x)的最小正周期T=2π2=π, (8分)
令-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z, (10分)
解得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为-π12+kπ,5π12+kπ,k∈Z. (12分)
20.解析　(1)因为小球振动过程中的最高点与最低点的距离为10 cm,
所以A=102=5. (2分)
因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以周期为2 s,
所以T=2=2πω,所以ω=π. (5分)
所以h=5sinπt+π4,t∈[0,+∞). (6分)
(2)由题意,当t=14时,小球第一次到达最高点,
以后每隔一个周期都会到达一次最高点, (8分)
因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50,
所以14+49T≤t0<14+50T. (10分)
因为T=2,所以9814≤t<10014,
所以t0的取值范围为9814,10014. (12分)
21.解析　因为在Rt△ACB中,斜边AB=2,BC=1, (1分)
所以AC=3,∠BAC=π6,∠ABC=π3.
因为D为以AB为直径的半圆上一点,所以∠ADB=π2, (2分)
在Rt△ADB中,AD=2cos θ,BD=2sin θ,θ∈0,π2,
如图,作CF⊥AD于点F,

则CF=3sinθ+π6,
S1=12×AD×BD=12×2cos θ×2sin θ=sin 2θ, (3分)
S2=12×AD×CF=12×2cos θ×3sinθ+π6=3cos θsinθ+π6. (4分)
(1)若S1=S2,则sin 2θ=3cos θsinθ+π6, 因为cos θ≠0,
所以2sin θ=3sinθ+π6, (5分)
所以2sin θ=32sin θ+32cos θ,整理可得12sin θ=32cos θ,可得tan θ=3,
又θ∈0,π2,所以θ=π3. (6分)
(2)S=sin 2θ-3cos θsinθ+π6=sin 2θ-3cos θ32sinθ+12cosθ=sin 2θ-34sin 2θ-34(1+cos 2θ)=14sin 2θ-34cos 2θ-34=12sin2θ-π3-34, (8分)
因为0<θ<π2,所以-π3<2θ-π3<2π3, (10分)
所以当2θ-π3=π2,即θ=5π12时,S取得最大值,为12-34. (12分)
22.解析　(1)过O作OT⊥MN,垂足为T,图略,则T为MN的中点,T,O,S三点共线,
∴MT=12MN=53, (2分)
∴OM=ON=53cosx,OT=53tan x,OS=53-OT=53-53tan x, (4分)
∴L=OM+ON+OS=103cosx+53-53tan x0≤x≤π4. (6分)
(2)由(1)知,L=103cosx+53-53tan x=53(2-sinx)cosx+530≤x≤π4. (8分)
令t=2-sinxcosx0≤x≤π4,则tcos x+sin x=2,
∴t2+1sin(x+φ)=2(tan φ=t),
由sin(x+φ)=2t2+1≤1,得t≥3或t≤-3,易知t>0,∴t≥3. (10分)
易知当t取最小值时,L最小,
∴当t=3时,φ=π3,x=π6∈0,π4,L取得最小值,
即宣讲站O的位置满足x=π6,NO=MO=10 km,OS=(53-5)km时,可使得其到三个乡镇的距离之和最小. (12分)