高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合学案及答案，共10页。学案主要包含了排列数公式的应用，排队问题等内容，欢迎下载使用。


知识点一 排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
思考 排列与排列数相同吗？
答案 排列数是元素排列的个数，两者显然不同．
知识点二 排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！).
2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Aeq \\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
1．Aeq \\al(2,3)＝________.
答案 6
2．Aeq \\al(2,n)＝132，则n＝________.
答案 12
3．Aeq \\al(x,5)＝20，则x＝________.
答案 2
4．甲、乙、丙三人站成一排，共有________种不同站队方式．(用排列数表示)
答案 Aeq \\al(3,3)
5.eq \f(A\\al(3,7),A\\al(3,8))＝________.
答案 eq \f(5,8)
一、排列数公式的应用
命题角度1 利用排列数公式求值
例1－1 计算：Aeq \\al(3,15)和Aeq \\al(6,6).
解 Aeq \\al(3,15)＝15×14×13＝2 730，
Aeq \\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720.
命题角度2 利用排列数公式化简
例1－2 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；
(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)．
解 (1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq \\al(15,69－n).
(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝Aeq \\al(m＋1,n＋m).
命题角度3 利用排列数公式证明
例1－3 求证：Aeq \\al(m,n＋1)－Aeq \\al(m,n)＝mAeq \\al(m－1,n).
证明 ∵Aeq \\al(m,n＋1)－Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n＋1！,n＋1－m！)－eq \f(n！,n－m！)
＝eq \f(n！,n－m！)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq \f(n！,n－m！)·eq \f(m,n＋1－m)
＝m·eq \f(n！,n＋1－m！)＝mAeq \\al(m－1,n)，
∴Aeq \\al(m,n＋1)－Aeq \\al(m,n)＝mAeq \\al(m－1,n).
反思感悟 排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
跟踪训练1 不等式Aeq \\al(x,8)<6Aeq \\al(x－2,8)的解集为( )
A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8}
答案 D
解析 由Aeq \\al(x,8)<6Aeq \\al(x－2,8)，得eq \f(8！,8－x！)<6×eq \f(8！,10－x！)，
化简得x2－19x＋84<0，解得7又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②
由①②及x∈N*，得x＝8.
二、排队问题
命题角度1 “相邻”与“不相邻”问题
例2－1 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有Aeq \\al(3,3)种排法，
女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有Aeq \\al(4,4)种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有Aeq \\al(2,2)种排法，
由分步乘法计数原理知，共有Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(2,2)＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(5,5)＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有Aeq \\al(4,4)种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有Aeq \\al(3,5)种排法，故有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(3,5)＝1 440(种)不同的排法．
(4)先排男生有Aeq \\al(3,3)种排法，让女生插空，有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)＝144(种)不同的排法．
命题角度2 定序问题
例2－2 7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？
解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有eq \f(A\\al(7,7),A\\al(2,2))＝2 520(种)不同的排法．
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的eq \f(1,A\\al(3,3)).
故有eq \f(A\\al(7,7),A\\al(3,3))＝840(种)不同的排法．
命题角度3 元素的“在”与“不在”问题
例2－3 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解 (1)方法一 把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有Aeq \\al(5,6)种排法．
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有Aeq \\al(4,6)种排法．根据分步乘法计数原理，有4×Aeq \\al(4,6)种排法．
由分类加法计数原理知，共有Aeq \\al(5,6)＋4×Aeq \\al(4,6)＝2 160(种)排法．
方法二 把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有Aeq \\al(1,6)种方法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有Aeq \\al(4,6)种方法．
由分步乘法计数原理知，共有Aeq \\al(1,6)·Aeq \\al(4,6)＝2 160(种)排法．
方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有Aeq \\al(5,7)种，甲在首位的情况有Aeq \\al(4,6)种，所以符合要求的排法有Aeq \\al(5,7)－Aeq \\al(4,6)＝2 160(种)．
(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有Aeq \\al(2,6)种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有Aeq \\al(3,5)种方法．
根据分步乘法计数原理，共有Aeq \\al(2,6)·Aeq \\al(3,5)＝1 800(种)方法．
(3)把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有Aeq \\al(2,5)种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有Aeq \\al(3,5)种方法．
根据分步乘法计数原理，共有Aeq \\al(2,5)·Aeq \\al(3,5)＝1 200(种)方法．
(4)间接法．
总的可能情况有Aeq \\al(5,7)种，减去甲在首位的Aeq \\al(4,6)种排法，再减去乙在末位的Aeq \\al(4,6)种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次Aeq \\al(3,5)种排法，所以共有Aeq \\al(5,7)－2Aeq \\al(4,6)＋Aeq \\al(3,5)＝1 860(种)排法．
反思感悟 排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决．
跟踪训练2 三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解 (1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有Aeq \\al(6,6)种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有Aeq \\al(3,3)种不同的排法．因此共有Aeq \\al(6,6)·Aeq \\al(3,3)＝4 320(种)不同的排法．
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有Aeq \\al(5,5)种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有Aeq \\al(3,6)种排法，因此共有Aeq \\al(5,5)·Aeq \\al(3,6)＝14 400(种)不同的排法．
(3)方法一 (位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有Aeq \\al(2,5)种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有Aeq \\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq \\al(2,5)·Aeq \\al(6,6)＝14 400(种)不同的排法．
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq \\al(8,8)种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(7,7)种排法和女生排在末位的Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(7,7)种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有Aeq \\al(2,3)·Aeq \\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq \\al(8,8)－2Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(7,7)＋Aeq \\al(2,3)·Aeq \\al(6,6)＝14 400(种)不同的排法．
方法三 (元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有Aeq \\al(3,6)种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有Aeq \\al(5,5)种不同的排法，所以共有Aeq \\al(3,6)·Aeq \\al(5,5)＝14 400(种)不同的排法．
(4)方法一 (位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有Aeq \\al(1,5)·Aeq \\al(7,7)种不同的排法；如果首位排女生，有Aeq \\al(1,3)种排法，那么末位就只能排男生，这样可有Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(1,5)·Aeq \\al(6,6)种不同的排法，因此共有Aeq \\al(1,5)·Aeq \\al(7,7)＋Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(1,5)·Aeq \\al(6,6)＝36 000(种)不同的排法．
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq \\al(8,8)种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法Aeq \\al(2,3)·Aeq \\al(6,6)种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有Aeq \\al(8,8)－Aeq \\al(2,3)·Aeq \\al(6,6)＝36 000(种)不同的排法．
1．Aeq \\al(3,9)等于( )
A．9×3 B．93
C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3
答案 C
2．89×90×91×92×…×100可表示为( )
A．Aeq \\al(10,100) B．Aeq \\al(11,100) C．Aeq \\al(12,100) D．Aeq \\al(13,100)
答案 C
解析 89×90×91×92×…×100＝eq \f(1×2×…×100,1×2×…×88)＝eq \f(100！,88！)＝Aeq \\al(12,100).
3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为( )
A．144 B．72 C．36 D．12
答案 A
解析 先将老师排好，有Aeq \\al(3,3)种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有Aeq \\al(3,4)种排法，故共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(3,4)＝144(种)排法．
4.eq \f(A\\al(6,7)－A\\al(5,6),A\\al(4,5))＝________.
答案 36
解析 eq \f(A\\al(6,7)－A\\al(5,6),A\\al(4,5))＝eq \f(7×6A\\al(4,5)－6A\\al(4,5),A\\al(4,5))＝36.
5．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
答案 210
解析 若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有Aeq \\al(4,4)＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的eq \f(1,24).故有eq \f(1,24)×Aeq \\al(7,7)＝210(个)七位数符合条件．
1．知识清单：
(1)排列数、排列数公式．
(2)全排列、阶乘、0！＝1.
(3)排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题)．
2．方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法．
3．常见误区：忽视Aeq \\al(m,n)中“n，m∈N*”这个条件．
1．设m∈N*，且m<15，则Aeq \\al(6,20－m)等于( )
A．(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m)
B．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)
C．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
D．(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
答案 C
解析 Aeq \\al(6,20－m)是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)·(15－m)．
2．已知Aeq \\al(2,n＋1)－Aeq \\al(2,n)＝10，则n的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 由Aeq \\al(2,n＋1)－Aeq \\al(2,n)＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有( )
A．Aeq \\al(8,8)种 B．Aeq \\al(4,8)种
C．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(4,4)种 D．2Aeq \\al(4,4)种
答案 C
解析 司机、售票员各有Aeq \\al(4,4)种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(4,4)种不同的分配方法．
4．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )
A．20 B．16 C．10 D．6
答案 B
解析 不考虑限制条件有Aeq \\al(2,5)种选法，若a当副组长，有Aeq \\al(1,4)种选法，故a不当副组长，有Aeq \\al(2,5)－Aeq \\al(1,4)＝16(种)选法．
5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!
答案 C
解析 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为Aeq \\al(3,3)·(Aeq \\al(3,3))3＝(3！)4.故选C.
6．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
答案 1 560
解析 根据题意，得Aeq \\al(2,40)＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．
7．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．
答案 3 600
解析 不同排法的种数为Aeq \\al(5,5)Aeq \\al(2,6)＝3 600.
8．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
答案 36
解析 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有Aeq \\al(2,4)＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．
9．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
(2)2个唱歌节目互不相邻；
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
解 (1)先排唱歌节目有Aeq \\al(2,2)种排法，再排其他节目有Aeq \\al(6,6)种排法，所以共有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(6,6)＝1 440(种)排法．
(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有Aeq \\al(6,6)种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有Aeq \\al(2,7)种插入方法，所以共有Aeq \\al(6,6)·Aeq \\al(2,7)＝30 240(种)排法．
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列，共有Aeq \\al(4,4)种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有Aeq \\al(3,5)种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有Aeq \\al(2,2)种排法，故所求排法共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(3,5)·Aeq \\al(2,2)＝2 880(种)排法．
10．用0,1,2,3,4五个数字：
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
解 (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)符合要求的数．
(2)方法一 先排万位，从1,2,3,4中任取一个有Aeq \\al(1,4)种方法，其余四个位置四个数字共有Aeq \\al(4,4)种方法，故共有Aeq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)＝96(个)符合要求的数．
方法二 先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有Aeq \\al(1,4)种方法，其余四个数字全排有Aeq \\al(4,4)种方法，故共有Aeq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)＝96(个)符合要求的数．
(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有Aeq \\al(1,2)种方法，再填其余位有Aeq \\al(2,2)种方法，故有2×Aeq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)种方法．
②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2，然后进行全排，有2×Aeq \\al(3,3)种方法，
所以共有2×Aeq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)＋2×Aeq \\al(3,3)＝8＋12＝20(个)符合要求的数．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位，有Aeq \\al(1,2)种方法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有Aeq \\al(1,3)种方法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为Aeq \\al(3,3)，
故共有Aeq \\al(1,2)·Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＝36(个)符合要求的数．
11．(多选)下列各式中与排列数Aeq \\al(m,n)相等的是( )
A.eq \f(n！,n－m！) B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.eq \f(nA\\al(m,n－1),n－m＋1) D．Aeq \\al(1,n)·Aeq \\al(m－1,n－1)
答案 AD
解析 ∵Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)，
而Aeq \\al(1,n)·Aeq \\al(m－1,n－1)＝n·eq \f(n－1！,[n－1－m－1]！)＝eq \f(n！,n－m！)，
∴Aeq \\al(m,n)＝Aeq \\al(1,n)·Aeq \\al(m－1,n－1).故选AD.
12．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10 C．18 D．20
答案 C
解析 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有Aeq \\al(2,5)＝20(种)排法，
因为eq \f(3,1)＝eq \f(9,3)，eq \f(1,3)＝eq \f(3,9)，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.
13．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
答案 60
解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有Aeq \\al(3,5)＝5×4×3＝60(种)．
14．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
答案 15
解析 将三面旗看作3个元素，“表示的信号”则是表示的3个元素中每次取出1个、2个或3个元素排列起来，分三类完成：第1类，挂1面旗表示信号，有Aeq \\al(1,3)种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有Aeq \\al(2,3)种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有Aeq \\al(3,3)种不同方法．
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有Aeq \\al(1,3)＋Aeq \\al(2,3)＋Aeq \\al(3,3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．
15．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有________种．
答案 1 008
解析 由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(6,6)＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)＝240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝48(种)．
因此，满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．
16．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解 由题意可知，原有车票的种数是Aeq \\al(2,n)种，现有车票的种数是Aeq \\al(2,n＋m)种，所以Aeq \\al(2,n＋m)－Aeq \\al(2,n)＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,2n＋m－1＝31，))
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．