高中人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试导学案及答案

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1. 已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．
故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.
2．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为( )
A．－1 B．0 C．－eq \f(2\r(3),9) D.eq \f(\r(3),3)
答案 C
解析 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
解得x1＝eq \f(\r(3),3)，x2＝－eq \f(\r(3),3)(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
所以当x＝eq \f(\r(3),3)时，g(x)有最小值geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))＝－eq \f(2\r(3),9).
3．设f(x)＝4x3＋mx2＋(m－3)x＋n(m，n∈R)是R上的增函数，则m的取值范围是( )
A．[－6，＋∞) B．{6}
C．{－6} D．(－∞，6]
答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝12x2＋2mx＋(m－3)≥0在R上恒成立，
所以Δ＝(2m)2－4×12×(m－3)≤0，
即(m－6)2≤0，解得m＝6.
4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
答案 C
解析 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，
因此，函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，
由于af(a)．
5．(多选)已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调区间为( )
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 ABC
解析 ∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a×22＋2b×2＝0，,3a＋2b＝－3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－3，))
令f′(x)＝3x2－6x0)．
①当2a－1≥0，即a≥eq \f(1,2)时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)无极值．
②当2a－10，f(x)单调递增；x1，
∵x>1，∴原不等式转化为a>eq \f(1＋ln x,x)，
设g(x)＝eq \f(ln x＋1,x)，得g′(x)＝eq \f(－ln x,x2)，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0时，有eq \f(xf′x－fx,x2)>0，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．
答案 (－1,0)∪(1，＋∞)
解析 令g(x)＝eq \f(fx,x)(x≠0)，
则g′(x)＝eq \f(xf′x－fx,x2).
∵当x>0时，eq \f(xf′x－fx,x2)>0，即g′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，
∴在(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴在(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．
g(x)0，得f(x)>0(x≠0)．
又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，
∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
16．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋5x＋5,ex).
(1)求函数f(x)的极大值；
(2)求f(x)在区间(－∞，0]上的最小值；
(3)若x2＋5x＋5－aex≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝eq \f(－xx＋3,ex)，
当x