高中数学第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试学案

这是一份高中数学第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试学案，共5页。学案主要包含了利用导数研究函数的单调性问题，利用导数研究恒成立问题，利用导数研究不等式问题，利用导数证明不等式等内容，欢迎下载使用。
一、利用导数研究函数的单调性问题
例1 已知函数f(x)＝ax－eq \f(a,x)－2ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解 (1)f′(x)＝a＋eq \f(a,x2)－eq \f(2,x)＝eq \f(ax2－2x＋a,x2)(x>0)．
①当a≤0时，f′(x)0时，令g(x)＝ax2－2x＋a，
∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数，
∴g(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴a≥eq \f(2x,x2＋1)在区间[1，＋∞)上恒成立．
令u(x)＝eq \f(2x,x2＋1)，x∈[1，＋∞)．
∵u(x)＝eq \f(2,x＋\f(1,x))≤eq \f(2,2 \r(x·\f(1,x)))＝1，
当且仅当x＝1时取等号．
∴a≥1.
∴当a≥1时，函数f(x)单调递增．
∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)可知：①当a≤0时，f′(x)