人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第1课时导学案

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第1课时 变化率问题和导数的概念
学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识点一 瞬时速度
瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).
知识点二 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
知识点三 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )
2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( × )
3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．( √ )
4．设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)＝
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝ eq \f(fx－fx0,x－x0).( √ )
一、函数的平均变化率
例1 (1)函数y＝eq \f(1,x)从x＝1到x＝2的平均变化率为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2) C．－2 D．2
答案 B
解析 平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(1,2)－1,2－1)＝－eq \f(1,2).
(2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则eq \f(Δy,Δx)的值为( )
A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29
答案 B
解析 ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－0.11,0.1)＝－1.1.
(3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq \x\t(v)1，eq \x\t(v)2，eq \x\t(v)3，则三者的大小关系为__________________．
答案 eq \x\t(v)1解析 由平均变化率的几何意义知：eq \x\t(v)1＝kOA，eq \x\t(v)2＝kAB，
eq \x\t(v)3＝kBC，由图象知：kOA反思感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
跟踪训练1 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解 (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
eq \f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq \\al(2,0)＋5)
＝3xeq \\al(2,0)＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq \\al(2,0)－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
eq \f(6x0Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.
二、求瞬时速度
例2 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
解 (1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(3Δt－Δt2,Δt)＝3－Δt，
eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(－Δt－Δt2,Δt)＝－1－Δt，
eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (－1－Δt)＝－1，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(Δs,Δt).
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt).
跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
答案 1
解析 因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7teq \\al(2,0)＋13t0－8
＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0))(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，
所以t0＝1.
(2)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解 质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq \f(a2＋Δt2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，
∴eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝4a＝8，即a＝2.
三、求函数在某点处的导数
例3 求函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数．
解 ∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)，
∴eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.
从而y′|x＝1＝2.
反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(3)求极限eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).
跟踪训练3 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2 C．2＋Δx D．1
答案 B
解析 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(1＋2Δx＋Δx2－1,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (2＋Δx)＝2.
(2)已知f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值等于( )
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
答案 D
解析 因为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fm＋Δx－fm,Δx)
＝eq \f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq \f(－2,mm＋Δx)，
所以f′(m)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(－2,mm＋Δx)＝－eq \f(2,m2)，
所以－eq \f(2,m2)＝－eq \f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.
1．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A．0 B．1 C．2 D．Δx
答案 A
解析 eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1－1,Δx)＝0.
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A．4 B．4x C．4.2 D．4.02
答案 C
解析 eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(fxB－fxA,xB－xA)＝eq \f(－1.58－－2,1.1－1)＝4.2.
3．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s3＋Δt－s3,Δt)＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
答案 C
4．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案 D
解析 因为eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(－t＋Δt2＋2t＋Δt－－t2＋2t,Δt)
＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，
所以当t＝0时，其速度为2.
5．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.
答案 3
解析 因为f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a1＋Δx＋3－a＋3,Δx)＝a.
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
1．知识清单：
(1)平均变化率．
(2)瞬时速度．
(3)函数在某点处的导数．
2．方法归纳：极限法、定义法．
3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．
1．已知函数y＝2＋eq \f(1,x)，当x由1变到2时，函数的增量Δy等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．1 D．－1
答案 B
解析 Δy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))－(2＋1)＝－eq \f(1,2).
2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 平均变化率为eq \f(fb－fa,b－a)＝eq \f(5b－a,b－a)＝5.
3．一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3 C．6 D．－6
答案 D
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为eq \(lim,\s\d4(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.
4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
答案 C
解析 f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(0＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δx2－3Δx,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (Δx－3)＝－3.
5．(多选)设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t的值是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 AD
解析 因为f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(t21＋Δx－t2,Δx)＝t2＝4，
所以t＝±2.
6．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
答案 5
解析 因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以eq \f(ft－f－2,t－－2)＝eq \f(t2－t－[－22－－2],t＋2)＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
7．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是________．
答案 2
解析 由题意知，
eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(st＋Δt－st,Δt)
＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(2t＋Δt－3t＋Δt2－2t＋3t2,Δt)
＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(2Δt－6tΔt－3Δt2,Δt)＝2－6t.
当t＝0时，v＝2－6×0＝2，
即物体的初速度是2.
8．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)＝__________.
答案 －1
解析 ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f0＋Δx－f0,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fΔx,Δx)＝－1.
9．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx，
∴f′(1)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(aΔx2＋2aΔx,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，
∴a＝1.
10．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体的运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
解 自运动开始到t s时，物体运动的平均速度
eq \x\t(v)(t)＝eq \f(st,t)＝3t＋2＋eq \f(4,t)，
故前4 s物体的平均速度为eq \x\t(v)(4)＝3×4＋2＋eq \f(4,4)＝15(m/s)．
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
eq \f(Δs,Δt)＝2＋6t＋3·Δt，
eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝2＋6t，
当t＝4时，eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝2＋6×4＝26，
所以4 s时物体的瞬时速度为26m/s.
11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
答案 BC
解析 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq \x\t(v)＝eq \f(s0,t0)，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故C正确，D错误．
12．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
答案 B
解析 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
13．设函数f(x)可导，则eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)等于( )
A．f′(1) B．3f′(1) C.eq \f(1,3) f′(1) D．f′(3)
答案 C
解析 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝eq \f(1,3)eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(1,3) f′(1)．
14．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
答案 [x3，x4]
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为eq \f(fx2－fx1,x2－x1)，eq \f(fx3－fx2,x3－x2)，eq \f(fx4－fx3,x4－x3)，
结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为eq \f(28π,3)，则m的值为________．
答案 2
解析 体积的增加量ΔV＝eq \f(4π,3)m3－eq \f(4π,3)＝eq \f(4π,3)(m3－1)，
所以eq \f(ΔV,ΔR)＝eq \f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq \f(28π,3)，
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．
16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体在t＝1时的瞬时速度．
解 (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)
＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为
eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(48,2)＝24 m/s.
即物体在t∈[3,5]内的平均速度为24 m/s.
(2)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率，
因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为
eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(f1＋Δt－f1,Δt)
＝eq \f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12，
所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为
eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.