人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案

5．1.2　弧度制

学习目标　1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．

知识点一　度量角的两种制度

知识点二　弧度数的计算

思考　比值与所取的圆的半径大小是否有关？

答案　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．

知识点三　角度与弧度的互化

知识点四　弧度制下的弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝αR.

(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.

思考　扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？

答案　扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．

1．18°＝________ rad.

答案　

2.＝________.

答案　54°

3．若α＝，则α是第________象限角．

答案　一

4．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________．

答案　6π

解析　扇形的面积为×62×＝6π.

一、角度制与弧度制的互化

例1　把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.

解　(1)72°＝72×＝；

(2)－300°＝－300×＝－；

(3)2＝2×°＝°；

(4)－＝－°＝－40°.

反思感悟　角度与弧度互化技巧

在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．

跟踪训练1　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．

解　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝，

∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ.

二、用弧度制表示有关的角

例2　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？

解　－1 125°＝－1 125×

＝－＝－8π＋.

其中<<2π，因为是第四象限角，

所以－1 125°是第四象限角．

延伸探究

若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合．

解　依题意与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，

由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，

知k＝－2，－1,0,1，

所以所求角的集合为.

反思感悟　用弧度制表示终边相同角的两个关注点

(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．

(2)注意角度制与弧度制不能混用．

跟踪训练2　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为.

(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合．

解　终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，

即θ＝＋2kπ，k∈Z.

终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，

即θ＝－＋2kπ，k∈Z，

故终边落在阴影部分的角θ的集合为.

三、扇形的弧长、面积

例3　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．

解　设扇形弧长为l，

因为圆心角72°＝72×＝ rad，

所以扇形弧长l＝|α|·r＝×20＝8π，

于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．

解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，

依题意有

①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.

当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．

当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad)．

综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.

延伸探究

已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？

解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，

则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，

所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝

－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，

所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，

因此，θ＝＝＝2(rad)．

(学生)

反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略

(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

跟踪训练3　若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积．

解　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，

∵216°＝216×＝，

∴l＝α·r＝r＝30π，解得r＝25，

∴S＝lr＝×30π×25＝375π.

1．下列说法中，错误的是(　　)

A．半圆所对的圆心角是π rad

B．周角的大小等于2π

C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

答案　D

解析　根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．

2．若α＝－2 rad，则α的终边在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　C

3．时针经过一小时，转过了(　　)

A. rad   B．－ rad

C. rad   D．－ rad

答案　B

解析　时针经过一小时，转过－30°，

又－30°＝－ rad.

4．与60°终边相同的角可表示为(　　)

A．k·360°＋(k∈Z)   B．2kπ＋60°(k∈Z)

C．2k·360°＋60°(k∈Z)   D．2kπ＋(k∈Z)

答案　D

5．周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为________．

答案　

解析　设扇形的半径为r，弧长为l，

由题意可知所以

所以S＝lr＝.

1．知识清单：

(1)弧度制的概念．

(2)弧度与角度的相互转化．

(3)扇形的弧长与面积的计算．

2．方法归纳：消元法．

3．常见误区：弧度与角度混用．

1．角终边所在的象限是(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　A

解析　π＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角．

2．若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则(　　)

A．扇形的面积不变

B．扇形的圆心角不变

C．扇形的面积增大到原来的2倍

D．扇形的圆心角增大到原来的2倍

答案　B

解析　∵l＝αR，∴α＝.

当R，l均变为原来的2倍时，α不变．

而S＝αR2中，

∵α不变，∴S变为原来的4倍．

3．(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)

A．2kπ＋45°(k∈Z)

B．k·360°＋(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)

D．2kπ＋(k∈Z)

答案　CD

解析　A，B中弧度与角度混用，不正确；

＝2π＋，

所以与终边相同．

－315°＝－360°＋45°，

所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同．

4．集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

答案　C

解析　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．

5．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　AD

解析　设该弦所对的圆周角为α，

则其圆心角为2α或2π－2α，

由于弦长等于半径，

所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.

6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．

答案　－　660°

解析　－135°＝－135×＝－；

＝×180°＝660°.

7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．

答案　　48

解析　α＝＝＝，

S＝l·r＝×12×8＝48.

8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝________.

答案　

解析　－＝－4π＋，

所以与－终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，

又α∈(0，π)，故α＝.

9．已知角α＝1 200°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；

(2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角．

解　(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，

所以角α与的终边相同，

又<<π，

所以角α是第二象限的角．

(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，

所以由－4π≤2kπ＋≤0，得－≤k≤－.

因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1.

故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－.

10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

解　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，

知△AOB是等边三角形，

∴α＝∠AOB＝60°＝.

(2)由(1)可知α＝，r＝10，

∴弧长l＝α·r＝×10＝，

∴S扇形＝lr＝××10＝，

而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，

∴S＝S扇形－S△AOB＝25.

11．(多选)下列表示中正确的是(　　)

A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}

B．终边在第二象限角的集合为

C．终边在坐标轴上角的集合是

D．终边在直线y＝x上角的集合是

答案　ABC

解析　A，B显然正确．

对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确；

对于D，终边在y＝x上的角的集合为或，其并集为，故D不正确．

12．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.

13．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，

∴弧长l＝R，∴α＝＝＝.

14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2(精确到1 m2)．

答案　9

解析　＝120°，根据题意，

弦＝2×4sin ＝4(m)，

矢＝4－2＝2(m)，

因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．

15．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)

A．α＋β＝0

B．α－β＝0

C．α＋β＝2kπ(k∈Z)

D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)

答案　D

解析　因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，

β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，

所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．

因为k1∈Z，k2∈Z，

所以k1－k2∈Z.

所以α－β＝＋2kπ(k∈Z)．

16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．

解　如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，

则t·＋t·＝2π，

所以t＝4，

即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒．

P点走过的弧长为×4＝，

Q点走过的弧长为×4＝.