2020-2021学年第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案

这是一份2020-2021学年第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案，共10页。学案主要包含了圆的标准方程，点与圆的位置关系，待定系数法求圆的标准方程等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系．
导语
《古朗月行》
唐 李白
小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
一、圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
确定圆的因素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
问题2 已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示 设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq \r(x－a2＋y－b2)＝r，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
知识梳理
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径
注意点：
(1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
答案 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________．
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(5＋32＋5＋12)＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
解 (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
问题3 点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？
提示 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
知识梳理
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d＝|PC|＝eq \r(x0－a2＋y0－b2).
例2 (1)已知a，b是方程x2－x－eq \r(2)＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A．点P在圆C内 B．点P在圆C外
C．点P在圆C上 D．无法确定
答案 A
解析 由题意，得a＋b＝1，ab＝－eq \r(2)，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq \r(2)<8，
∴点P在圆C内．
(2)已知点P(2,1)和圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________．
答案 －2或－6 a<－6或a>－2
解析 由题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,2)))2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或－6.
当点P在圆C外时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,2)))2＋(1－1)2>1，
解得a<－6或a>－2.
反思感悟 判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
跟踪训练2 已知点M(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
答案 [0,1)
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,5\r(a)＋1－12＋\r(a)2<26，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,26a<26，))解得0≤a<1.
三、待定系数法求圆的标准方程
例3 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝r2，,1－a2＋1－b2＝r2，,2a＋3b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－3，))
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝eq \r(42＋－32)＝5.
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
反思感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
跟踪训练3 过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 方法一 因为kAB＝eq \f(1＋1,－1－1)＝－1，线段AB的中点坐标为(0,0)．
所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
所以圆心坐标为(1,1)，半径为2，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二 本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D；
根据点B(－1,1)在圆上，排除A.
1．知识清单：
(1)圆的标准方程．
(2)点和圆的位置关系．
2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法．
3．常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况．
1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
答案 C
解析 以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
答案 B
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 方法一 (直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，则eq \r(0－12＋b－22)＝1，
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
4．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
答案 a>eq \f(1,13)或a<－eq \f(1,13)
解析 ∵P在圆外，
∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>eq \f(1,169)，
∴a>eq \f(1,13)或a＜－eq \f(1,13).
课时对点练
1．圆(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1的圆心坐标是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(－1，eq \r(3))
C．(1，－eq \r(3)) D．(－1，－eq \r(3))
答案 C
解析 由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1，得圆心坐标为(1，－eq \r(3))．
2．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
答案 B
解析 由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(3＋52＋－2－42)＝5，所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
3．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝eq \f(\r(3),3)x的距离是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)
答案 A
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，
所以圆心到直线y＝eq \f(\r(3),3)x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3))),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2))＝eq \f(1,2).
4．已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在( )
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
答案 B
解析 由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a,1)，
则原点与圆心的距离为eq \r(a2＋1).
∵0＜a＜1，∴eq \r(a2＋1)＞eq \r(2a)＝r，即原点在圆外．
5．(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M的圆心为(－4,3)
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的线段长为6
答案 ACD
解析 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，
故圆心为(4，－3)，半径为5，则AC正确；
令x＝0，得y＝0或y＝－6，线段长为6，故D正确．
6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
答案 B
解析 在圆C2上任取一点(x，y)，
则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上，
所以(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1，
即(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
7．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为________________．
答案 (x－1)2＋y2＝18
解析 圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，
则eq \f(πr2,πR2)＝eq \f(1,2)，所以r2＝18，
又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x－1)2＋y2＝18.
8．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
答案 eq \r(2)＋1
解析 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，
则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq \r(2)，
故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为eq \r(2)＋1.
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
解 (1)∵点M(6,9)在圆N上，
∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.
又a>0.∴a＝eq \r(10).
(2)由已知，得圆心N(5,6)．
∵|PN|＝eq \r(3－52＋3－62)＝eq \r(13)，
|QN|＝eq \r(5－52＋3－62)＝3，
∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
∴a的取值范围是310．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解 (1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(10).
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)方法一 AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝eq \f(1,3)x.即x－3y＋3＝0，
由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝eq \r(1－32＋－2－22)＝2eq \r(5).
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法二 待定系数法
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋－2－b2＝r2，,－1－a2＋4－b2＝r2，,2a－b－4＝0，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,r2＝20，))
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
11．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20
C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20
答案 AD
解析 令x＝0，则y＝4；
令y＝0，则x＝2.
所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)．|AB|＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，以A为圆心，
过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.
以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
12．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
答案 B
解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,3x－2y＋5＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))即P(－1,1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝eq \r(－1－22＋1＋32)＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
13．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
答案 (x－4)2＋y2＝1
解析 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－3)·－1＝－1，,\f(a＋3,2)＋\f(b－1,2)－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝0，))
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
14．已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________．
答案 －4
解析 ∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，
∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.
∵y∈[－1,1]，
∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
15．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 设圆心C(x，y)，则eq \r(x－32＋y－42)＝1，
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，
所以|OC|＋1≥|OM|＝eq \r(32＋42)＝5，
所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号．
16．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的方程．
解 设圆心为(a，b)，半径长为r，
依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)|b|＝r，,a2＋1＝r2，))
消去r，得2b2－a2＝1，①
圆心到直线l的距离d＝eq \f(|a－2b|,\r(5)).
设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，
整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1，
当|k|＝1时，dmin＝eq \f(\r(5),5).
当k＝1时，a＝b＝－1，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d(x0－a)2＋(y0－b)2