高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案及答案，共11页。学案主要包含了空间直角坐标系，求空间点的坐标，空间点的对称问题，空间向量的坐标等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
导语
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算．
一、空间直角坐标系
知识梳理
1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
注意点：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．
二、求空间点的坐标
知识梳理
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
问题 空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？
提示
例1 (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，D1的坐标分别为________________；
②棱C1C中点的坐标为________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________．
答案 ①(0,0,0)，(0,1,1) ②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))) ③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
解 ∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为2eq \r(23).
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2eq \r(23))．
答案不唯一．
反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内．
②充分利用几何图形的对称性．
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
跟踪训练1 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上．
∵P1P2＝2，且P1，P2，P3，P4均在Oxy平面上，
∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)．
在Oxy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)．
又SP1＝2，OP1＝eq \r(2)，
∴在Rt△SOP1中，SO＝eq \r(2)，
∴S(0,0，eq \r(2))．
(答案不唯一，也可选择其他的点建系)
三、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
跟踪训练2 已知点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为__________．
答案 (2，－3,1)
解析 点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
四、空间向量的坐标
知识梳理
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．
例3 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))的坐标．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，设eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝i，
eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＝j，eq \f(1,4)eq \(AA1,\s\up6(→))＝k，
eq \(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，
eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))
＝0i＋4j＋4k
＝(0,4,4)，
∴eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))
＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))
＝－4i＋4j＋4k
＝(－4,4,4)．
反思感悟 向量坐标的求法
(1)点A的坐标和向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标形式完全相同；
(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．
跟踪训练3 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若eq \(DB1,\s\up6(→))的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是( )
A．(0,3,2) B．(0,4,2)
C．(4,0,2) D．(2,3,4)
答案 A
解析 ∵eq \(DB1,\s\up6(→))的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点，
∴B1的坐标为(4,3,2)，
∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2，
∴C1的坐标为(0,3,2)．
1．知识清单：
(1)空间直角坐标系的概念．
(2)空间点的坐标．
(3)空间向量的坐标．
2．方法归纳：数形结合、类比联想．
3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．
1．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面Oxy对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)
C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)
答案 B
2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是( )
A．1 B．2
C．3 D.eq \r(14)
答案 A
解析 点到平面Oyz的距离就是点的横坐标的绝对值．
3．点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为______，点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．
答案 (1,1，－1) (－1，－1,1)
解析 点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1)．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量eq \(AC1,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 (－4,2,3)
解析 eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋2j＋3k＝(－4,2,3)．
课时对点练
1．(多选)下列命题中正确的是 ( )
A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B．在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)
D．在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a,0，c)
答案 BCD
解析 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．故A错误，B，C，D正确．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为( )
A．(－1，－2，－4) B．(－1，－2,4)
C．(1,2，－4) D．(1,2,4)
答案 A
解析 关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)．
3．如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为( )
A．(3,5,4) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3，4))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，5，4)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(3,2)，2))
答案 C
解析 由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是eq \f(3,2)，5,4，故点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，5，4)).
4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)( )
A．关于Oxy平面对称 B．关于Ozx平面对称
C．关于Oyz平面对称 D．关于x轴对称
答案 C
解析 空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于Oyz平面对称．
5．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq \r(2)，eq \r(3))，过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A．(0，eq \r(2)，0) B．(0，eq \r(2)，eq \r(3))
C．(1,0，eq \r(3)) D．(1，eq \r(2)，0)
答案 B
解析 由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.
6．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝eq \f(1,4)A1B1，则eq \(BE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)，－1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0，－1))
答案 C
解析 eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(B1E,\s\up6(—→))＝k－eq \f(1,4)j＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1)).
7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________．
答案 (2，－4,5)，(1,2，－3)
解析 由空间向量坐标概念知a＝(2，－4,5)，b＝(1,2，－3)．
8.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3)))
解析 由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)．
由重心坐标公式得点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3))).
9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
解 正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，a))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，Ieq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a，0))，Jeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，\f(a,2))).
10.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\(OM,\s\up6(→))，\(ON,\s\up6(→))，\f(1,2)\(OP,\s\up6(→))))为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标．
解 由题意知，点B的坐标为(1,1,0)．
由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1,0)，
由点C与点B关于y轴对称，得C(－1,1,0)，
由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1,0)．
又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点，
所以由中点坐标公式可得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).
11．在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为( )
A.eq \r(5) B．3 C.eq \r(10) D.eq \r(13)
答案 A
解析 空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
12．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A．点B1的坐标为(4,5,3)
B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
答案 ACD
解析 根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确；
B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)，
故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误；
在长方体中AD1＝BC1＝eq \r(AD2＋AA\\al(2,1))＝5＝AB，
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，
即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确；
点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确．
13．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，向量a在基底{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))}下的坐标为( )
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)
答案 B
解析 ∵a＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－3eq \(AA1,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))－3eq \(DD1,\s\up6(→))＝－eq \(DA,\s\up6(→))＋2eq \(DC,\s\up6(→))－3eq \(DD1,\s\up6(→))，
∴向量a在基底{eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))}下的坐标为(－1,2，－3)．
14.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))
解析 eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)i－eq \f(1,2)k＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).
15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________，在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
答案 (1,1,1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))
解析 由题意知p＝2a＋b－c，
则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．
设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又∵p＝2a＋b－c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝1，,z＝－1，))
解得x＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(1,2)，z＝－1，
∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1)).
16.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则eq \(AG,\s\up6(→))的坐标为________，eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，－\f(\r(6),3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(6),3)))
解析 由题意可知，BG＝eq \f(2,3)BE＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)，
所以AG＝eq \r(AB2－BG2)＝eq \f(\r(6),3)，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝－eq \f(\r(6),3)k＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，－\f(\r(6),3)))，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(GB,\s\up6(→))－eq \(GA,\s\up6(→))＝－eq \f(\r(3),3)j－eq \f(\r(6),3)k＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(6),3))).点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
坐标的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
点的位置
Oxy平面内
Oyz平面内
Ozx平面内
坐标的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)