初中数学北师大版九年级上册8 图形的位似教案

4.8  图形的位似

一、学生知识状况分析

九年级的学生正处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段，经过沉淀，已经积累了一定的学习数学的方法和经验。他们具备一定的探究能力，也喜欢动手探究。本节课是第三章第九节图形的放大与缩小的第二课时，在上一课时学习了位似图形及相关概念后，学生动手将一些简单图形进行了放大或缩小，会利用橡皮筋等方法做近似的放大图形，已获得一些相关的知识经验和体验，这些知识的储备为本节课的学习奠定了基础。学生日常生活中经常见到放大与缩小的实例，对本课的学习有一定的兴趣。同时，在以往的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的经验，以及归纳知识的能力。在此基础上，本节课主要探讨在直角坐标系中多边形与其位似图形之间的关系。

二、教学任务分析

基于学生已经学过相似、位似等有关知识，并能将某一简单图形按一定比例放大或缩小，本节课将多边形放到直角坐标系中，探讨通过直角坐标系，如何寻找它关于原点O的位似图形并确定相似比，如何将一个多边形放大或缩小。同时，也要探讨在直角坐标系中，给出相似比，如何确定一个已知多边形关于原点O的位似图形。通过具有挑战性的内容，促使学生进一步理解位似的相关概念，熟练掌握利用直角坐标系将一个图形按比例放大或缩小，进而能初步归纳出规律，形成有关技能，发展思维能力。本节课将观察、动手操作等实践活动贯穿于教学活动的始终。同时，有意识地培养学生积极的情感和态度。为此，本节课的教学目标是：

（一）知识目标

1、在直角坐标系中，感受以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间的关系．

2、经历以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。

3、通过实例进一步理解位似图形及相关概念和性质。

（二）能力目标

1、能熟练准确地利用图形的位似在直角坐标系中将一个图形放大或缩小；

2、经历探究平面直角坐标系中，以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，领会所学知识，归纳作图步骤，总结规律，并较熟练地进行应用。

3、通过学习，进一步培养学生应用已有知识解决数学问题的能力，培养学生逆向思维和类比思想，发展有条理的思考和语言表达能力。

（三）情感与价值观目标

1、有意识地培养学生学习数学的积极情感，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度、多方法想问题的学习习惯；

2、通过对问题的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲，能积极参与数学学习活动，进一步培养学生动手操作的良好习惯。

3、通过师生的共同活动,促使学生在学习过程中培养良好的情感、合作交流主动参与的意识,在独立思考的同时能够认同他人。

教学重点：

通过探究得到平面直角坐标系中多边形坐标变化与其位似图形的关系，并能应用该结论将一个多边形放大或缩小。

教学难点：

通过位似的相关概念和性质判断直角坐标系中两个多边形是否位似；比较放大或缩小后的图形与原图形的坐标与相似比，总结规律。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：动手操作，探求新知；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：巩固练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。

第一环节：复习引入

活动内容：

提问：

1、什么是位似图形？

2、如何判断两个图形是否位似？

3、怎样求两个位似图形的相似比？

4、如何将画在纸上的一个图片放大，使放大前后对应线段的比为1：2？你有哪些方法？

让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正，补充。

教师说明：除利用前面已经用过的作图、“橡皮筋”等方法外，在计算机上，借助一些软件也可以很方便地将一个图形放缩，如有条件，可以试试。

下面我们一起研究，当位似图形与直角坐标系碰面，将碰撞出怎样神奇的数学知识。（从而引入新课）

活动目的：

本节课的内容需要大量用到判断两个图形是否位似以及求相似比，而通过直角坐标系确定一个多边形的位似图形，其实也是将多边形放大或缩小的方法之一。通过复习，回顾位似图形的相关知识，为新课的进行做好铺垫。

注意事项：

复习时间不宜过长，但是对于问题2、如何判断两个图形是否位似？3、怎样求两个位似图形的相似比？一定要给学生足够的思考和交流时间。学生在此时归纳总结出方法，接下来的学习将会顺利很多。对于作图法和“橡皮筋”法只需简单描述即可，此处不必让学生动手操作。

第二环节：动手操作，探求新知

活动内容：

课件展示：在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0,0），A（3,0），B（2,3）.

按要求完成下列问题：

（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘以2，得到三个点O′，A′，B′，请你在坐标系中找到这三个点。

（2）以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？为什么？

（3）如果位似，指出位似中心和相似比。  

（4）如果将点O，A，B的横、纵坐标都乘以-2呢？                       

1、学生根据提示，自己在直角坐标系中画出△O′A′B′；

2、先分组讨论，猜测结论并验证问题（2）（3）。教师对于学生的验证方法进行简单的评述。注意，此处应给学生充分的思考和交流时间和空间，让学生将上节课所学的位似的相关概念充分理解消化，并能够运用在这几个问题之中。

3、教师总结作图步骤及判断方法（课件展示）。

4、待课件展示后，教师引导学生独立完成问题（4），并能仿照刚才的过程自己提出问题并解决。

5、待学生完成问题（4）后，引导学生总结：将△OAB的横、纵坐标分别乘2和-2，得到的两个不同的三角形都是△OAB的位似图形，位似中心都是原点O，相似比都是2，它们关于原点成中心对称。

活动目的：

此活动中的问题（2）、（3）对应着复习提问用中的问题（2）、（3），学生很容易将一开始总结出来的方法用在这两个问题上。课件展示作图的步骤及过程，不仅能吸引学生的注意力，同时，让学生学会听课，观察，对比。通过仔细观察，对比自己的作图过程，掌握在直角坐标系中做多边形位似图形的方法，并能对作图方法进行初步归纳（用自己的语言描述）。通过问题（4），引导学生初步发现规律。

注意事项：

教师可以通过小组合作的形式完成前三个问题，给学生充分的思考、交流、展示的时间。第四个问题让学生完全独立完成，加深理解，掌握作图方法，并进一步归纳出规律（学生用自己的语言描述即可）。

第三环节：做一做

活动内容：

（1）在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（5,0），B（5,3），C（2,4）.将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.

（2）你能自己在直角坐标系中创作一个多边形，仿照上面的的要求操作，得到相同的结论吗？

（3）通过前面的探究，你发现了什么？

（在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为

∣k∣.）

1、请同学们自己完成问题（1）

2、让学生动手在直角坐标系中自己创作一个多边形，并将横纵坐标都乘以一个数，得到新坐标，画出新多边形，判断两个多边形是否为位似图形，并求出位似中心和相似比。此过程教师巡视学生的操作，并适时给予必要的指导。

3、将较好的学生作图进行展示，并由学生说明作图的步骤和判断方法。

4、由学生总结自己的发现。

活动目的：

让学生在活动中能够举一反三，触类旁通、善于发现、勤于探究，敢于质疑，学会总结，形成自主学习的良好学习习惯。

注意事项：

这一环节一定要让学生亲自动手，教师要特别关注学生的动手操作过程，对于在作图中出现的问题要及时给予解决。教材给出的例题都是多边形其中一个顶点为原点。有的学生会提出疑问：是不是平面直角坐标系中只有这样的多边形才会满足结论？或者在学生自己设计时，会出现原点不是多边形顶点的图形。教师要及时抓住这些学生资源，引发学生思考，引导学生探究，有必要可课件展示一例，最终形成统一结论。并鼓励和表扬学生的质疑精神和求变思维。

第四环节：议一议

活动内容：

课件展示：在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（6,0），B（3,6），C（-3,3）.已知四边形O′A′B′C′与四边形OABC是以原点O为位似中心的位似四边形，且相似比是3:2，请写出四边形O′A′B′C′各个顶点的坐标.与四边形OABC相比，四边形O′A′B′C′对应顶点的坐标发生了什么变化？

1、引导学生先独立思考，再小组交流、讨论，教师注意每个小组的交流情况。

    2、选择有代表性的小组进行集体交流，利用课件同步展示。

活动目的：

通过题目，继续引导学生关注平面直角坐标系中当两个图形以原点O为位似中心时，其相似比和坐标之间的关系；同时，通过练习，让学生学会分析问题、解决问题，进一步培养学生逆向思维的能力，巩固加深学生对本节知识的理解和掌握。

注意事项：

教学过程中，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示。

学生一般会通过上一环节得出的结论，将四边形OABC的顶点坐标的横、纵坐标都乘以，得到新坐标。思维严谨全面的同学会考虑到也可以乘以，教师应给与表扬。有的学生会先根据已知条件，运用上节课所学知识画出四边形OABC的位似图形，发现可以画出两个，再分别确定对应点的坐标，找到坐标发生的变化。教师应给他们展示自己思维的机会，并提出表扬，适时让学生比较那一种方法更好。其实两种方法都可以，只是第二种方法通过作图得到点的坐标，可能存在误差。第一种方法求出来的坐标数值更加准确。

第五环节：巩固练习

活动内容：

如图，在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0,0），A（3,0），B（4,4），C（-2,3）.画出四边形OABC以O为位似中心的位似图形，使它与四边形OABC的相似比是2:1.

过程：先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例。

活动目的：

对本节知识进行巩固练习，以达到熟练掌握的目的。

注意事项：

教师进行巡视，关注学生的做题过程和效果，及时发现学生解题过程中存在的问题，并给予必要的帮助。对于普遍性的问题，应做集体讲解。通过第四环节的探究，学生大都会选择根据相似比先确定出位似四边形的坐标，再连线的方法完成作图。如果学生使用别的方法，只要合理就应予以肯定。

第六环节：课堂小结

活动内容：

（课件展示）问题：1、回顾位似图形、位似中心、相似比的定义。

2、在直角坐标系中，以O为位似中心的两个位似多边形的坐标和相似比之间有什么关系？

3、位似图形的作法都有哪一些？

活动目的：

通过复习，让学生学会把知识系统化，加深对知识的理解和掌握，同时，培养学生有条理的进行思考。

注意事项：

小结的三个问题，应由学生思考后作出回答，相互补充，教师切不可代办。

第七环节：布置作业

活动内容：

1、课本习题

知识技能：1、2；数学理解：3、4

2、试用几何画板将一个图形放大或缩小。

活动目的：

让学生在练习的过程中加深对本课知识的理解和掌握，作业2是为了让学有余力的同学能勇于探索，拓展知识。

学法指导

本节课由复习入手引出新课，不仅学习新的知识，同时，更进一步加深对已学知识的理解和掌握。

整堂课，采取学生观察、思考、交流、猜想、质疑、验证、类比、动手作图等方式，教师适时引导、点拨，促使学习过程有效开展。展示学生优秀思维和作图，培养学生的成就感，增强学生学好数学的信心。每一个环节都要注重学生动手操作，根据自己的理解和知识的迁移，通过类比、逆向思维等方式得到结论，培养学生主动学习的意识、小组合作意识和逆向思维能力。

通过本节课，指导学生掌握在直角坐标系中，以O为位似中心的两个位似多边形的坐标和相似比之间的关系，直角坐标系中位似图形的画法，积累有关数学活动经验，并在此过程中，通过独立思考，自主探索和合作交流，形成有关技能，发展思维能力。

运用多媒体教学，通过对感官的刺激获取信息，调动学生的学习兴趣，使学生主动学习，多媒体恰当的演示，使学生对所学知识产生好奇心，激起他们探索知识的欲望，最终达到提高课堂教学质量的目的。