高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集导学案，共10页。学案主要包含了代数式的化简，“十字相乘法”分解因式，方程的解集等内容，欢迎下载使用。

2.1.1 等式的性质与方程的解集
学习目标 1.能用符号语言和量词表示等式的性质.2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求方程的解集．
知识点一 等式的性质
1．等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式．
2．等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么ac＝bc，eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)(c≠0)．
知识点二 恒等式
1．恒等式的含义
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
2．常见的代数恒等式
(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
(4)(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，
(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd.
3．十字相乘法
给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．
知识点三 方程的解集
1．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
2．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，
当x1＝x2时解集为{x1}．
1．化简x2－2x＋1＝________.
答案 (x－1)2
2．化简4x2－y2＝________.
答案 (2x＋y)(2x－y)
3．多项式4a－a3分解因式的结果是________．
答案 a(2－a)(2＋a)
4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
答案 {3，－5}
解析 x2＋2x－15＝0，
即(x－3)(x＋5)＝0，
所以x＝3或x＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}．
一、代数式的化简
例1 化简下列代数式：
(1)(x＋1)2－(1－2x)2；
(2)3ax2－12ay2.
解 (1)方法一 (x＋1)2－(1－2x)2＝x2＋2x＋1－(1－4x＋4x2)＝x2＋2x＋1－1＋4x－4x2＝－3x2＋6x.
方法二 (x＋1)2－(1－2x)2＝[(x＋1)＋(1－2x)][(x＋1)－(1－2x)]＝(2－x)·3x＝－3x2＋6x.
(2)3ax2－12ay2＝3a(x2－4y2)＝3a(x＋2y)(x－2y)．
反思感悟 化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”
(1)先看是否能提取公因式．
(2)再看能否套用公式．
(3)再检查因式分解是否彻底．
跟踪训练1 化简下列代数式：
(1)(3x＋1)2－(x＋1)2；
(2)a3(a－b)－8(a－b)．
解 (1)方法一 (3x＋1)2－(x＋1)2＝9x2＋6x＋1－(x2＋2x＋1)＝9x2＋6x＋1－x2－2x－1＝8x2＋4x.
方法二 (3x＋1)2－(x＋1)2＝[(3x＋1)＋(x＋1)][(3x＋1)－(x＋1)]＝(4x＋2)·2x＝8x2＋4x.
(2)a3(a－b)－8(a－b)＝(a－b)(a3－23)＝(a－b)(a－2)(a2＋2a＋4)．
二、“十字相乘法”分解因式
例2 化简下列各式：
(1)x2＋6x－7；
(2)2x2－7x＋6；
(3)x2＋29xy＋100y2；
(4)(a－b)2＋11(a－b)＋28.
解 (1)方法一 x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7
＝(x＋3)2－16
＝(x＋3＋4)(x＋3－4)
＝(x＋7)(x－1).
方法二 x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1)．
(2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数．
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3)．
(3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y)．
(4)(a－b)2＋11(a－b)＋28
＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]
＝(a－b＋4)(a－b＋7)．
反思感悟 (1)对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解．
(2)对于二次三项式ax2＋bx＋c(a，b，c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式ax2＋bx＋c，即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解为(a1x＋c1)·(a2x＋c2)．
跟踪训练2 化简下列各式：
(1)x2＋37x＋36；
(2)－x2＋(a－2)x＋2a.
解 (1)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．
(2)－x2＋(a－2)x＋2a＝(x＋2)(－x＋a)＝－(x＋2)·(x－a)．
三、方程的解集
例3 求下列方程的解集：
(1)4－3(10－y)＝5y；
(2)4x2－3x－1＝0.
解 (1)去括号，得4－30＋3y＝5y.
移项，得3y－5y＝30－4.
合并同类项，得－2y＝26.
系数化为1，得y＝－13.
所以该方程的解集为{－13}．
(2)因为4x2－3x－1＝(x－1)(4x＋1)，
所以原方程可化为(x－1)(4x＋1)＝0，
所以x－1＝0或4x＋1＝0，即x＝1或x＝－eq \f(1,4)，
故原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1)).
反思感悟 利用因式分解将式子分解为因式乘积的形式，利用ab＝0，则a＝0或b＝0求解．
跟踪训练3 求下列方程的解集：
(1)(x＋3)(x＋1)＝6x＋2；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
解 (1)整理，得x2－2x＋1＝0.
即(x－1)2＝0，
所以x1＝x2＝1.
所以方程的解集为{1}．
(2)利用平方差公式，将原方程化为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，
所以7x－8＝0或x－32＝0，
所以x＝eq \f(8,7)或x＝32，
故原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，32)).
1．分解因式x3－x，结果为( )
A．x(x2－1) B．x(x－1)2
C．x(x＋1)2 D．x(x＋1)(x－1)
答案 D
解析 x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．
2. x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 B
解析 原方程可化为x＝eq \f(a,2)，
又x＝1，所以eq \f(a,2)＝1，即a＝2.
3．已知a＋b＝3，ab＝2，计算：a2b＋ab2等于( )
A．5 B．6 C．9 D．1
答案 B
解析 a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6.
4．分解因式：3x2－6x＋3＝________.
答案 3(x－1)2
解析 3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)＝3(x－1)2.
5．分解因式：a3＋a2－a－1＝________.
答案 (a＋1)2(a－1)
解析 a3＋a2－a－1＝a2(a＋1)－(a＋1)＝(a＋1)2(a－1)．
1．知识清单：
(1)等式的性质．
(2)常见恒等式．
(3)十字相乘法．
(4)求方程的解集．
2．方法归纳：提取公因式法、公式法、十字相乘法．
3．常见误区：公式中“±”号的选取，十字相乘法中的配凑．
1．(多选)下列说法不正确的是( )
A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c
B．在等式a＝b两边都除以c2＋1，可得eq \f(a,c2＋1)＝eq \f(b,c2＋1)
C．在等式eq \f(b,a)＝eq \f(c,a)两边都除以a，可得b＝c
D．在等式2x＝2a－b两边同除以2，可得x＝a－b
答案 ACD
解析 对于A，当a＝0时不正确；
对于B，∵c2＋1≠0，∴B正确；
对于C，等式eq \f(b,a)＝eq \f(c,a)两边都除以a可得eq \f(b,a2)＝eq \f(c,a2)，
∴C不正确；
对于D，在等式2x＝2a－b两边同除以2，得x＝a－eq \f(b,2)，
∴D不正确．
2．(多选)下列方程的解集不正确的是( )
A．x－3＝1的解集是{－2}
B.eq \f(1,2)x－2x＝6的解集是{－4}
C．3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解集是{3}
D．－eq \f(1,3)x＝2的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))
答案 ACD
解析 方程x－3＝1的解是x＝4，eq \f(1,2)x－2x＝6的解是x＝－4，3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解是x＝－7，－eq \f(1,3)x＝2的解是x＝－6，故选ACD.
3．下列计算正确的是( )
A．8a＋2b＋(5a－b)＝13a＋3b
B．(5a－3b)－3(a－2b)＝2a＋3b
C．(2x－3y)＋(5x＋4y)＝7x－y
D．(3m－2n)－(4m－5n)＝m＋3n
答案 B
解析 对于A项，去括号、合并同类项得，8a＋2b＋5a－b＝8a＋5a＋2b－b＝13a＋b≠13a＋3b，故本选项错误；
对于B项，去括号、合并同类项得，5a－3b－3a＋6b＝5a－3a－3b＋6b＝2a＋3b，故本选项正确；
对于C项，去括号、合并同类项得，2x－3y＋5x＋4y＝2x＋5x－3y＋4y＝7x＋y≠7x－y，故本选项错误；
对于D项，去括号、合并同类项得，3m－2n－4m＋5n＝3m－4m－2n＋5n＝－m＋3n≠m＋3n，故本选项错误．
4．方程2m＋x＝1和3x－1＝2x＋1的解相同，则m的值为( )
A．0 B．1 C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 D
解析 方程3x－1＝2x＋1的解集为{2}，方程2m＋x＝1可化为x＝1－2m，所以由已知可得1－2m＝2，
即m＝－eq \f(1,2).
5．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得( )
A．(a＋b＋10)(a＋b－2) B．(a＋b＋5)(a＋b－4)
C．(a＋b＋2)(a＋b－10) D．(a＋b＋4)(a＋b－5)
答案 A
解析 (a＋b)2＋8(a＋b)－20＝ [(a＋b)－2][(a＋b)＋10]＝(a＋b－2)(a＋b＋10)．
6．补全下列等式．
(1)a3－b3＝________(因式分解)；
(2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝________(化简)；
(3)x2＋(m＋n)x＋mn＝________(因式分解)；
(4)x2＋(5＋t)x＋5t＝________(因式分解)．
答案 (1)(a－b)(a2＋ab＋b2)
(2)a3＋b3
(3)(x＋m)(x＋n)
(4)(x＋5)(x＋t)
解析 (1)(2)由立方差公式和立方和公式可得，(3)(4)用“十字相乘法”可得．
7．方程eq \f(3x－2,3)－eq \f(0.1x－0.3,0.2)＝1的解集为________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))
解析 原方程可化为eq \f(3x－2,3)－eq \f(x－3,2)＝1，
即6x－4－3x＋9＝6，即3x＝1，解得x＝eq \f(1,3)，
所以方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))).
8．把4x4y2－5x2y2－9y2分解因式的结果是__________．
答案 y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)
解析 4x4y2－5x2y2－9y2
＝y2(4x4－5x2－9)
＝y2(4x2－9)(x2＋1)
＝y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)．
9．把下列各式分解因式：
(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；
(2)－8a2b＋2a3＋8ab2.
解 (1)原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]＝3(x＋y)(x－y)．
(2)原式＝2a(a2－4ab＋4b2)＝2a(a－2b)2.
10．把下列各式分解因式：
(1)x2－y2－x＋3y－2；
(2)6xy＋4x＋3y＋2；
(3)x2－(a＋b)x＋ab；
(4)x2－(3＋a)|x|＋3a.
解 (1)原式＝(x＋y)(x－y)－x＋3y－2
＝(x＋y－2)(x－y＋1)．
(2)原式＝(2x＋1)(3y＋2)．
(3)原式＝(x－a)(x－b)．
(4)原式＝(|x|－3)(|x|－a)．
11．若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n等于( )
A．1 B．－2 C．－1 D．2
答案 C
解析 ∵(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2＝x2＋mx＋n，
∴m＝1，n＝－2.
∴m＋n＝1－2＝－1.
12．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________.
答案 －eq \f(1,2)或1
解析 设a＋b＝x，则原方程可化为4x(4x－2)－8＝0，整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－eq \f(1,2)或x＝1，则a＋b＝－eq \f(1,2)或1.
13．若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b为整数，则m取值的集合为________．
答案 {－9，－3,3,9}
解析 因为x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝a＋b，,ab＝－10.))
又因为a，b为整数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝5.))
所以m＝±9或±3，
所以m取值的集合为{－9，－3,3,9}．
14．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则m＝________，关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为________．
答案 1 {0}
解析 因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，
所以2－13(m－1)＝2，
即m＝1.
所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)⇒(x－3)－2＝2x－5，
解得x＝0.
所以方程的解集为{0}．
15．(多选)规定一种运算：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.例如：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x 2,1 5))＝8，运算得5x－2＝8，解得x＝2.按照这种运算的规定，那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x 2x,2 x))＝5时，x的可能取值为( )
A．－1 B．0 C．2 D．5
答案 AD
解析 由题意，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x 2x,2 x))＝x2－4x＝5，
即x2－4x－5＝0，
解得x＝5或x＝－1.
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边，且△ABC满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的取值范围．
解 ∵a2＋b2＝12a＋8b－52，
∴a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0，
∴(a－6)2＋(b－4)2＝0，
∴a＝6，b＝4，根据构成三角形的条件，∴2＜c＜10.
∵c是最短边，∴2∴c的取值范围为(2,4]．