高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案设计，共11页。学案主要包含了配方法求方程的解集，一元二次方程判别式的应用，一元二次方程根与系数的关系等内容，欢迎下载使用。

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学习目标　1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系．

知识点一　一元二次方程的有关概念
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0. 其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
知识点二　Δ＝b2－4ac的取值与根的个数间的关系
Δ＝b2－4ac
根的情况
b2－4ac>0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，
即x1＝，x2＝
b2－4ac＝0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－
b2－4ac<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根

知识点三　一元二次方程的解法
直接开平方法
形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程
配方法
把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解
公式法
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝求解
因式分解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n

知识点四　一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

1．方程ax2＋bx＋x＝0是一元二次方程．(　×　)
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0.(　√　)
3．一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．(　√　)
4．方程x2－2x－1＝0的解集为{－1,1}．(　×　)

一、配方法求方程的解集
例1　用配方法求下列一元二次方程的解集：
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
解　 (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}．
(2)移项，得4x2＋8x＝－1.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－，
配方，得x2＋2x＋12＝12－，
即(x＋1)2＝.
∴x＋1＝±.
∴x1＝－1＋，x2＝－1－，
∴原一元二次方程的解集是.
反思感悟　用配方法解一元二次方程的步骤
(1)移项：把常数项移到方程的右边．
(2)二次项系数化为1，即方程两边都除以二次项系数．
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式．
(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程．
(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

跟踪训练1　用配方法解方程2x2－5＋x＝0.
解　移项，得2x2＋x＝5.
二次项系数化为1，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋2＝＋2.
∴2＝.
∴x＋＝±.
∴x1＝，x2＝，
∴原一元二次方程的解集是.
二、一元二次方程判别式的应用
例2　已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根．
解　Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即4(1－3k)>0，
所以k<.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，
所以k＝.
反思感悟　一元二次方程的解的情况分为“无实数根”、“有两个相等的实数根”、“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系．
跟踪训练2　试证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．
证明　∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，
∴不论m为何值时，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．
三、一元二次方程根与系数的关系
例3　已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值：
(1)x＋x；
(2)|x1－x2|(x1＋x2)．
解　由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－2，x1x2＝－3.
(1)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)
＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝(－2)[(－2)2－3×(－3)]＝－26.
(2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(－2)2－4×(－3)＝16.
所以|x1－x2|＝＝4，
所以|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8.
反思感悟　在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
跟踪训练3　已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
(1)x＋x；(2)＋.
解　根据一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)＋＝＝＝3.

1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　　)
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为2＝
D．3y2－4y－2＝0化为2＝
答案　B
解析　x2＋8x＋9＝0配方应为(x＋4)2＝7.
2．方程2(x－3)＝3x(x－3)的解集为(　　)
A. B. C．{3} D．{0,3}
答案　A
解析　2(x－3)＝3x(x－3)，
移项得2(x－3)－3x(x－3)＝0，
整理得(x－3)(2－3x)＝0，
x－3＝0或2－3x＝0，
解得x1＝3或x2＝.
3．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(　　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
答案　B
解析　∵α，β是方程x2＋x－2＝0的两个实数根，
∴α＋β＝－1，αβ＝－2，
∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1，故选B.
4．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．
答案　2
解析　∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(m－1)＝0，
解得m＝2.
5．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根为负，则实数m的取值范围是____．
答案　
解析　设方程的两个实数根为x1，x2，
则x1＜0，x2＜0，
∴
∴0≤m＜.

1．知识清单：
(1)配方法求方程的解集．
(2)一元二次方程判别式的应用．
(3)一元二次方程根与系数的关系．
2．方法归纳：配方法、公式法．
3．常见误区：忽视对二次项系数的讨论．


1．(多选)用配方法解下列方程，配方不正确的是(　　)
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
答案　ABC
解析　A项，2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；
B项，x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；
C项，x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；
D项，x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．
2．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为(　　)
A．5 B．－1 C．2 D．－5
答案　B
解析　设方程的另一个根为x0，
则－2＋x0＝－3，
即x0＝－1.
3．(多选) 关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当m＝－1时，方程没有实数根
D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
答案　AB
解析　当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，
此时方程只有一个实数根，A正确；
当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；
当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6>0，
所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；
当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，
所以此时方程无实数根，D错误．
4．已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为(　　)
A．±2 B．±
C．－2或3 D．2或－3
答案　A
解析　∵a＝2，b＝－k，c＝3，
∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，
∵方程的解集中只有一个元素，
∴Δ＝k2－24＝0，
解得k＝±2.
5．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　　)
A．4 B．－4 C．3 D．－3
答案　A
解析　由题意知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，
则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，
解得b＝4.
6．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m＝________，n＝________.
答案　1　4
解析　 x2－2x＝3，
配方得x2－2x＋1＝4，
即(x－1)2＝4，
∴m＝1，n＝4.
7．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为________．
答案　－1
解析　∵关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，
∴Δ＝b2－4ac＝0，
即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.
8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________.
答案　
解析　由题意知x1＋x2＝5，x1x2＝a.
因为x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，
所以x1－x2＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，
所以a＝.
9．求下列方程的解集．
(1)x4－3x2＋2＝0；(2)x＋2－1＝0；
(3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0.
解　(1)令y＝x2≥0，
得y2－3y＋2＝0，
∴y＝1或y＝2，
即x2＝1或x2＝2，
∴x＝±1或x＝±.
∴原方程的解集为{－，－1,1，}．
(2)令y＝≥0，
得y2＋2y－1＝0，
∴y＝－1＋或y＝－1－(舍)．
从而＝－1＋，
即x＝3－2，
∴原方程的解集为{3－2}．
(3)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，
∴t1＝－1或t2＝2，
即x2－x＋1＝0，①
或x2－x－2＝0，②
对①，Δ＝－3＜0，无实数解；
对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1,2}．
10．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
解　(1)根据题意得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，
解得m≥－，
∴m的最小整数值为－2.
(2)根据题意得x1＋x2＝－(2m＋1)，
x1x2＝m2－2，
∵(x1－x2)2＋m2＝21，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，
∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21，
整理得m2＋4m－12＝0，
即m2＋4m＋4＝16，
∴(m＋2)2＝16，
解得m1＝2，m2＝－6，
∵m≥－，
∴m的值为2.

11．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则＋的值是(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　C
解析　∵α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，
∴α＋β＝－，αβ＝－3，
∴＋＝＝
＝＝－.
12．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是(　　)
A．{1,3} B．{－1,3}
C. {2,3} D．{3}
答案　B
解析　∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，
此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．

13．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝________.
答案　6
解析　∵(x◆2)－5＝x2＋2x＋4－5＝x2＋2x－1，
∴m，n为方程x2＋2x－1＝0的两个根，
∴m＋n＝－2，mn＝－1，
∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝6.
14．已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，则x2＋y2＝______.
答案　4
解析　令t＝x2＋y2≥0，
则原方程可化为(t＋1)(t－3)＝5，
即t2－2t－8＝0.
∴t＝4或t＝－2(舍去)，
故x2＋y2＝4.

15．已知方程x2＋4x－2m＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝________，β＝________，m＝________.
答案　－4　0　0
解析　由Δ＝16＋8m＞0得m＞－2，由题意α＝β－4，
即α－β＝－4，①
又α＋β＝－4，②
由①②得α＝－4，β＝0，
∴αβ＝0＝－2m，m＝0.
16．已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
解　由题意知
∴a≥0且a≠6.
由根与系数的关系，得
(1)若－x1＋x1x2＝4＋x2，
则x1＋x2＋4＝x1x2，
即4－＝，
∴a＝24.
故满足条件的a存在，且a＝24.
(2)∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝－＋1＝－为负整数，
∴a可取的整数为7,8,9,12.