人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集导学案，共11页。学案主要包含了一次方程组的解集，二元二次方程组的解集，一次方程组的应用等内容，欢迎下载使用。
2.1.3　方程组的解集
学习目标　1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题．

知识点　方程组的解集
1．概念
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
2．解法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法．
3．方程组的解集
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．

1．下列方程：①7x－3y＝5；②x2－2y＝1；③＋3y＝8；④x＋y＝z；⑤2xy＋3＝0；⑥＋＝1.其中是二元一次方程的为________．
答案　①⑥
2．方程组的解集为________．
答案　{(3，－1)}
3．方程组的解集为________．
答案　{(4.5,3.5,8)}
解析　
①＋②＋③得x＋y＋z＝16，④
④－①，得z＝8；
④－②，得x＝4.5；
④－③，得y＝3.5.
所以原方程组的解集为{(4.5,3.5,8)}．
4．方程组的解集是________．
答案　{(－1,0)，(4,5)}

一、一次方程组的解集
例1　求下列方程组的解集：
(1)
(2)
解　(1)已知
由①得x＝2y＋1，③
把③代入②，得2y＋1＋3y＝6，
解得y＝1.把y＝1代入③得x＝3，
所以原方程组的解为
所以原方程组的解集为{(3,1)}．
(2)已知方程组
①＋②，得5x－z＝14.
①＋③，得4x＋3z＝15.
解方程组
得
把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.
所以原方程组的解集为{(3,8,1)}．

反思感悟　(1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法．
(2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数．
跟踪训练1　求方程组的解集．
解　已知方程组
①－②×2，得5y－3z＝8，④
③－②，得3y－3z＝6，⑤
由④⑤组成二元一次方程组
解这个二元一次方程组，得
把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2，
所以原方程组的解集为{(2,1，－1)}．
二、二元二次方程组的解集
命题角度1　“二·一”型的二元二次方程组
例2　解方程组
解　已知方程组
方法一　由②得x＝2y＋5，　　　　　　　　　　　 ③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4.
整理，得3y2＋10y＋7＝0.
解得y1＝－，y2＝－1.
把y1＝－代入③，得x1＝，
把y2＝－1代入③，得x2＝3.
所以原方程组的解是或
所以原方程组的解集为.
方法二　由①得(x＋y)2＝4，
即x＋y＝2或x＋y＝－2.
原方程组转化为或
解得或
所以原方程组的解集为.
反思感悟　这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”．如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解(如本例方法二)．
跟踪训练2　解方程组
解　已知
由方程②，得y＝1－x，③
把方程③代入方程①，得x2＋(1－x)2＝1.
整理，得x2－x＝0.
解得x1＝0，x2＝1.
把x1＝0代入方程③，得y1＝1；
把x2＝1代入方程③，得y2＝0.
原方程组的解是或
即其解集为{(0,1)，(1,0)}．
命题角度2　“二·二”型的二元二次方程组
例3　求方程组的解集．
解　　已知方程组
由①得x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0，
∴x＋y＝0或x－y－5＝0，
∴ 原方程组可化为两个方程组
或
解这两个方程组，
得原方程组的解集是{(－1，－6)，(6,1)，(，－)，(－，)}．
反思感悟　解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组．
跟踪训练3　解方程组
解　方程组可化为
即为或
或或
解得或或或
所以原方程组的解集为.
三、一次方程组的应用
例4　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
解　设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：

甲原料x g
乙原料y g
所配的营养品
其中所含蛋白质
0.5x单位
0.7y单位
(0.5x＋0.7y)单位
其中所含铁质
x单位
0.4y单位
(x＋0.4y)单位

根据题意及上述表格，可列方程组
化简，得
①－②，得y＝30，
把y＝30代入②中，得x＝28.
答　每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g.
反思感悟　用一次方程组解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系．
(2)设元：用字母表示题目中的未知数．
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组．
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值．
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
跟踪训练4　水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600

(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
解　(1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，得

解得
答　需甲车型8辆，乙车型10辆．
(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得

消去z得5x＋2y＝40，x＝8－y，
因为x，y是正整数，且不大于16，得y＝5,10，
由z是正整数，解得或
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．

1．若x，y满足方程组则x＋y的值是(　　)
A．5 B．－1 C．0 D．1
答案　A
解析　
方法一　②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
所以x＋y＝2＋3＝5.
方法二　由①＋②，得3x＋3y＝15.
化简，得x＋y＝5.故选A.
2．求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取(　　)
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
答案　B
解析　根据系数特点，先消去y最简便，故选B.
3．如果的解是正数，那么a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B.
C. D.
答案　C
解析　由解得
由即
解得－2＜a＜.
4．以方程组的解为坐标的点(x，y)在第______象限．
答案　一
解析　方程组的解集为，
所以x>0，y>0，
所以点(x，y)在第一象限．
5．已知方程x＋3y＝5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为这个方程可以是________．
答案　x－4y＝0(答案不唯一)
解析　设所写出的二元一次方程为y＝kx＋b(k≠0)．
把(4,1)代入y＝kx＋b，得1＝4k＋b，
令b＝0，则k＝，
∴这个方程可以是y＝x，即x－4y＝0.

1．知识清单：
(1)求二元一次方程组、三元一次方程组的解集．
(2)求二元二次方程组的解集．
(3)一次方程组的实际应用．
2．方法归纳：代入消元法、加减消元法．
3．常见误区：消元不恰当造成运算烦琐．




1．若方程组的解集是{(1，－1)}，则a，b为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　将x＝1，y＝－1代入方程组，
可解得a＝1，b＝0.
2．(多选) 方程组的解集为(　　)
A．{－1,2} B．{(－1,2)}
C. D.
答案　BD
解析　由
①＋②×4得，27x＋27＝0，得x＝－1，
代入①得y＝2.
3．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人．设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程7y＝x－3；
根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程8y＝x＋5.
列方程组为
4．若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为(　　)
A．3 B．－3 C．－4 D．4
答案　D
解析　由得
代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4.
5．(多选)方程组的解集的子集有(　　)
A. {(3,5)，(－1，－3)} B. {(2,6)}
C．{(－1，－3)} D．{2,6}
答案　AC
解析　
由①得y＝2x－1代入②得
3x2－2x－(2x－1)2＝－4，
整理得x2－2x－3＝0，
解得或
6．已知二元一次方程2x－3y－5＝0的一组解为则6b－4a＋3＝________.
答案　－7
解析　∵是二元一次方程2x－3y－5＝0的解，
∴2a－3b－5＝0，即2a－3b＝5，
∴6b－4a＋3＝－2(2a－3b)＋3＝－2×5＋3＝－10＋3＝－7.
7．三元一次方程组的解集是________．
答案　{(1，－1，－2)}
解析　已知
由①＋②，得2x＋4y＝－2，即x＋2y＝－1，④
由②×3＋③，得3x＋11y＝－8，⑤
④⑤组成二元一次方程组得
解得把y＝－1代入②中，得z＝－2.
故方程组的解是
8．方程组的解集是________．
答案　{(2,0)，(0，－1)}
解析　已知
由②得x＝2y＋2，　　　　 ③
把③代入①，整理得8y2＋8y＝0，
即y(y＋1)＝0，解得y1＝0，y2＝－1，
把y1＝0代入③，得x1＝2，
把y2＝－1代入③，得x2＝0，
所以原方程组的解是或
即其解集是{(2,0)，(0，－1)}．
9．已知是二元一次方程组的解，求的值．
解　把代入二元一次方程组
得解得
∴原式＝＝＝4.



10．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)
解　设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x只、y只、z只．
根据题意，得
②×3－①，得7x＋4y＝100，y＝＝25－x.
因为x，y均为正整数，所以x一定是4的倍数，
且x是小于的正整数，
所以x的取值只能为4,8,12.
若x＝4，则y＝18，z＝78；
若x＝8，则y＝11，z＝81；
若x＝12，则y＝4，z＝84.
故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，
鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．

11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为(　　)

A. B.
C. D.
答案　D
12．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z等于(　　)
A．9 B．10 C．5 D．3
答案　A
解析　由题意，得
③－①，得y＝3.
把y＝3代入②，得z＝5.
把z＝5代入①，得x＝1.
所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9.
13．(多选)已知关于x，y的方程组其中－3≤a≤1，下列选项中，正确的是(　　)
A.是方程组的解
B．当a＝－2时，x，y的值互为相反数
C．当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解
D．若x≤1，则1≤y≤4
答案　BCD
解析　解方程组得
∵－3≤a≤1，∴－5≤x≤3,0≤y≤4，
A中，不符合－5≤x≤3,0≤y≤4，结论错误．
B中，当a＝－2时，x＝1＋2a＝－3，y＝1－a＝3，x，y的值互为相反数，结论正确．
C中，当a＝1时，x＋y＝2＋a＝3,4－a＝3，方程x＋y＝4－a两边相等，结论正确．
D中，当x≤1时，1＋2a≤1，解得a≤0，且－3≤a≤1，
∴－3≤a≤0，∴1≤1－a≤4，∴1≤y≤4，结论正确．
14．甲、乙、丙三个正整数的和为100，将甲数除以乙数或将丙数除以甲数，所得的商都是5，余数都是1，则甲、乙、丙分别为________．
答案　16,3,81
解析　设甲、乙、丙分别为x，y，z，
所以x＋y＋z＝100，
＝5余1⇒x＝5y＋1，
＝5余1⇒z＝5x＋1，
组成三元一次方程组
解得

15．关于x，y的方程3kx＋2y＝6k－3，对于任意k的值都有相同的解，则方程的解集为________．
答案　
解析　方程可化为k(3x－6)＋2y＋3＝0，
由题意
∴
16．k为何值时，方程组
(1)有一组实数解，并求出此解；
(2)有两组不相等的实数解；
(3)没有实数解．
解　将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，　　③
当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝－16(k－1)．
(1)当k＝0时，y＝2，则－4x＋1＝0，
解得x＝，
方程组的解为
当时，原方程组有一组实数解，
即k＝1时方程组有一组实数解，
将k＝1代入原方程组得
解得
所以当k＝0或k＝1时，此方程组有一组实数解，且此解为或
(2)当时，原方程组有两组不相等的实数解，
即k＜1且k≠0.
所以当k＜1且k≠0时，
原方程组有两组不相等的实数解．
(3)当时，
即当k>1时，方程组无实数解．