高中数学人教版新课标B必修11.2.2集合的运算导学案

这是一份高中数学人教版新课标B必修11.2.2集合的运算导学案，共8页。学案主要包含了全称量词命题的否定，存在量词命题的否定，全称量词命题等内容，欢迎下载使用。


知识点一 命题的否定
1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题p与其否定綈p的真假关系．
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
知识点二 含量词的命题的否定
思考 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
答案 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
1．命题与命题的否定的真假相反．( √ )
2．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √ )
3．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．( √ )
4．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．( × )
一、全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形．
(3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思感悟 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定．
跟踪训练1 写出下列全称量词命题的否定：
(1)p：每一个三角形的三个顶点共圆；
(2)q：所有自然数的平方都是正数；
(3)s：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)r：对任意实数x，x2＋5≥0.
解 (1)綈p：存在一个三角形，它的三个顶点不共圆．
(2)綈q：有些自然数的平方不是正数．
(3)綈s：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)綈r：存在实数x，使得x2＋5<0.
二、存在量词命题的否定
例2 写出下列命题的否定：
(1)有些四边形有外接圆；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)∃x∈R，x2＋1<0.
解 (1)所有的四边形都没有外接圆；
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)∀x∈R，x2＋1≥0.
反思感悟 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．
跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)∃x，y∈Z，使得eq \r(2)x＋y＝3.
解 (1)命题的否定：“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，
∴命题的否定是假命题．
三、全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用
例3 已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．
解 因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}．
延伸探究
如果把本例改成：已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．
解 因为綈p为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图像的最高点在x轴上方，即图像与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋4(m－5)>0，即m>4，故实数m的取值范围为{m|m>4}．
反思感悟 (1)注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
(2)对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．
跟踪训练3 已知命题p：∃x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 方法一 若命题p：∃x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2≤0是真命题，得Δ＝4(a－1)2－4a2≥0，
即－2a＋1≥0，∴a≤eq \f(1,2).，若命题p是假命题，则a>eq \f(1,2).
方法二 依题意，命题綈p：∀x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2>0是真命题，得Δ＝4(a－1)2－4a2<0，即a>eq \f(1,2).
1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0
答案 C
解析 量词∀x∈R改为∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
3．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.
答案 C
解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
4．命题“存在x∈R,3x≥0”的否定是________．
答案 对任意的x∈R,3x<0
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，故“存在x∈R,3x≥0”的否定是“对任意的x∈R,3x<0”．
5．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________________．
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．
1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．
(2)全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用．
2．方法归纳：转化法、分离参数法．
3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．
1．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为( )
A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0
C．∃x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
答案 B
解析 命题p：∀x∈R，x2＋1>0，是一个全称量词命题，
∴綈p：∃x∈R，x2＋1≤0.
2．(多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是( )
A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0
B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：有的三角形为直角三角形；p的否定：有的三角形不是直角三角形
D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0
答案 ABD
解析 若p：有的三角形为直角三角形，则p的否定：所有的三角形都不是直角三角形．
3．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为( )
A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2
C．∃x∈N，x3答案 D
解析 命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，
∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．
4．(多选)下列命题的否定为真命题的是( )
A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．∀x∈R，x3<1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．某些梯形的对角线互相平分
答案 ABCD
解析 对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以∀x∈R，x3<1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，任意一个梯形的对角线都不互相平分，所以这是假命题，因此其否定是真命题．
5．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由题意知原命题的否定是真命题，即∀x∈R，都有x2＋2x＋m>0是真命题．由Δ＝4－4m<0，得m>1，∴a＝1.
6．“至少有2个人” 的否定为__________，“至多有2个人”的否定为_____．
答案 至多有1人 至少有3个人
解析 “至少有2个人”意思是多于或等于两个人，所以它的反面是有一个或者零个，也就是至多1人．“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________．
答案 对任意x∈R，x2＋2x＋5≠0
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
8．若命题“∃x<2 020，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 [2 020，＋∞)
解析 由于命题“∃x<2 020，x>a”是假命题，因此其否定“∀x<2 020，x≤a”是真命题，所以a≥2 020.
9．写出下列命题的否定，并判断否定的真假．
(1)∀x∈R，x2>0；
(2)∃x∈R，x2＝1；
(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；
(4)等腰梯形的对角线垂直．
解 (1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，
因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．
(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，
因为x＝1时，x2＝1，
所以命题的否定为假．
(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．
(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．
10．已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围．
解 因为綈p是假命题，所以p是真命题，
又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，
所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤－3，,a＋5≥2，))解得－3≤a≤1，
即实数a的取值范围是－3≤a≤1.
11．(多选)下列命题的否定是真命题的为( )
A．p1：每一个合数都是偶数
B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C．p3：有些实数的绝对值是正数
D．p4：所有平行四边形都是菱形
答案 AD
解析 因为p1为全称量词命题，且是假命题，则綈p1是真命题．命题p2，p3均为真命题，所以綈p2，綈p3都是假命题，p4是全称量词命题，是假命题，綈p4为真命题．
12．已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)＝0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
答案 D
解析 ∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)＝0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)≠0”是真命题，
即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×eq \f(1,4)<0，
即Δ＝(a－2)2<4，则－2即013．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_____________
____________.
答案 所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
解析 把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
14．已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，－1]
解析 若命题p为假命题，则綈p：∃x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1≤0为真命题，则Δ＝4a2－4(a2＋a＋1)≥0，
∴a的取值范围是a≤－1.
15．某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________.(填“是”“否”中的一种)
答案 是
解析 ∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”．
而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”为真命题．
∴两位同学题中m的取值范围是一致的．
16．已知命题p：∀x∈[1,3]，都有m≥x，命题q：∃x∈[1,3]，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围．
解 由题意知命题p，q都是真命题．
由∀x∈[1,3]，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃x∈[1,3]，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．p
綈p
结论
全称量词命题∀x∈M，q(x)
∃x∈M，綈q(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题