2020-2021学年1.2.1集合之间的关系导学案及答案

这是一份2020-2021学年1.2.1集合之间的关系导学案及答案，共9页。

学习目标 1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
知识点一 命题的概念
知识点二 全称量词和存在量词
1．“这盆花长得太好了！”是命题．( × )
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ )
3．全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．( × )
4．在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( × )
5．“四边形的内角和是360°”是全称量词命题．( √ )
一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)存在实数x，满足x2≥2；
(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
解 (1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.
(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.
(3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，它的对角线不互相垂直．
(4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
跟踪训练1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)有的一次函数图像经过原点；
(3)所有的二次函数的图像的开口都向上．
解 (1)全称量词命题．表示为∀x∈R，x2＋x＋1>0.
(2)存在量词命题．∃一次函数，它的图像过原点．
(3)全称量词命题．∀二次函数，它们的图像的开口都向上．
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数a，b，若a(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
解 (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在a＝－5，b＝－3，a(－3)2，所以该命题是假命题．
(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．
反思感悟 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x0的存在性，若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题．
跟踪训练2 判断下列命题的真假．
(1)∀x∈R，x2＋1>0；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)∀x∈N，x2>0.
解 (1)因为x2＋1≥1>0，
所以命题是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
例3 已知命题“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
解 ∵“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，
∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上恒成立．
又y＝2x－1－m在[1,2]上的最小值为1－m.
∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是(－∞，1]．
延伸探究
若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 ∵“∃x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，
∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上有解．
函数y＝2x－1－m在[1,2]上的最大值是2×2－1－m＝3－m.
∴3－m≥0，故m≤3.
∴实数m的取值范围是(－∞，3]．
反思感悟 应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
跟踪训练3 (1)是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求实数m的取值范围．
解 (1)不等式m＋x2－2x＋5>0可化为
m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
(2)不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.
令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.
又t＝(x－1)2＋4，
∴tmin＝4，
∴m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
1．下列命题不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．我班绝大多数同学是团员
D．每一个方程都有实数解
答案 C
解析 “我班绝大多数同学是团员”，即“我班有的同学不是团员”，是存在量词命题．
2．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．
3．下列是存在量词命题且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x3>0 B．∃x∈Z，x2>2
C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0
答案 B
解析 对于A，∀x∈R，x3>0是全称量词命题，不合题意；
对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；
对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；
对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．
4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．
答案 ①③
解析 ①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．
5．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题．(填“真”或“假”)
答案 存在量词命题 假
解析 命题中含有量词“∃”，故为存在量词命题．又Δ＝22－4×5＝－16<0，故方程x2＋2x＋5＝0无实根，即命题为假命题．
1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．
(2)含量词的命题的真假判断．
(3)通过含量词的命题的真假求参数．
2．方法归纳：转化与化归、分离参数法．
3．常见误区：
有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．
1．(多选)对语句：“如果x>1，那么x>2”，下列判断正确的是( )
A．不是命题 B．是命题
C．是假命题 D．是真命题
答案 BC
解析 能够判断真假，所以是命题，而且x>1不一定有 x>2，∴是假命题．
2．(多选)下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任意一个x∈R，使得x2>3
D．所有x∈R，使得x2>3
答案 CD
3．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )
A．若x∈R，则x2＋1>0
B．∀x∈R，x2＋1<0
C．∃x∈R，x2＋1<0
D．以上都不正确
答案 C
解析 存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示．
4．(多选)下列命题中是存在量词命题的是( )
A．有些自然数是偶数
B．正方形是菱形
C．能被6整除的数也能被3整除
D．存在一个x0∈R，满足|x0|≥0.
答案 AD
解析 命题A含有存在量词；命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题D是存在量词命题．
5．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x∈R，x2＝x
D．当k>0时，一次函数y＝kx＋b在R上y随x的增大而增大
答案 D
解析 A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“任意的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题．
6．有下列命题：①有的质数是偶数；②与同一条直线平行的两条直线平行；③有的三角形有一个内角为60°；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称量词命题的为________，是存在量词命题的为________．(填序号)
答案 ②④ ①③
解析 ①③是存在量词命题，②④是全称量词命题．
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．
答案 ∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使s(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．
8．试判断下列全称量词命题的真假：
①∀x∈R，x2＋2>0；
②∀x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
其中真命题的个数为________．
答案 1
解析 ①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题．
9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数．
解 (1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．
(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．
如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
(3)∃x，y∈Z,3x－2y＝10；真命题．
(4)∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数；真命题．
10．已知命题p：∀x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围．
解 命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图像总在x轴上方，显然不能恒成立；
②当a≠0时，由二次函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝22－4×a×3<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a>\f(1,3)，))∴a>eq \f(1,3).
综上，a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>\f(1,3))))).
11．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则下列选项正确的是( )
A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q
答案 B
解析 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．
12．(多选)下列结论中错误的是( )
A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题
答案 ABD
解析 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B，D错误，C项正确．
13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|a<1}
解析 当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是a<1.
14．命题p：任意x∈R，一次函数y＝－2x＋b的图像都不经过第一象限，若命题p为真命题，则实数b的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 因为一次函数y＝－2x＋b的图像都不经过第一象限，则b≤0.所以实数b的取值范围为(－∞，0]．
15．命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1) D．[－1,1]
答案 A
解析 由命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”为真命题，即对于∀x∈[1,2]，m<2x2－x恒成立，得m<(2x2－x)min＝1，所以m<1.
16．已知函数y1＝xeq \\al(2,1)，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
解 因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，
即y1的最小值大于等于y2的最小值，
即－4－m≤0，解得m≥－4，
所以m的取值范围为[－4，＋∞)．全称量词
存在量词
量词
任意、所有、每一个
存在、有、至少有一个
符号
∀
∃
命题
含有全称量词的命题称为全称量词命题
含有存在量词的命题称为存在量词命题
命题形式
“对集合M中所有元素x，r(x)”，可用符号简记为“∀x∈M，r(x)”
“存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”