数学第一章 集合综合与测试学案设计

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1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，eq \r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq \r(3)|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
答案 A
解析 由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
2．设集合M是由不小于2eq \r(6)的数组成的集合，a＝eq \r(69)，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M B．a∉M
C．a＝M D．a≠M
答案 A
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵eq \r(69)>2eq \r(6)，∴a∈M.
3．(多选)若2∉{x|x－a>0}，则下列实数在实数a的取值范围内的是( )
A．1 B．2 C．6 D．10
答案 BCD
解析 因为2∉ {x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2.
4．已知集合A＝{1,2,4}，集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝\f(x,y)，x∈A，y∈A))))，则集合B中元素的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 因为A＝{1,2,4}，
所以集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝\f(x,y)，x∈A，y∈A))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，\f(1,4)，2，4))，
所以集合B中元素的个数为5.
5．(多选)集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．(1,2)∈A，且2∈B
B．(1,2)∉A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
答案 BC
解析 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(1,2)，(3,10)∈B.
6．不等式3x－eq \f(1,3)≤x的解集可用区间表示为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,6)))
解析 由3x－eq \f(1,3)≤x，得x≤eq \f(1,6)，故不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(1,6)))))，可用区间表示为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,6))).
7．用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N＋}为________．
答案 {(0,3)，(1,2)，(2,1)}
解析 集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，
当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1，
故A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)}．
8．设区间A＝(－2,3)，B＝[2，＋∞)，则使得x∈A且x∈B的一个实数为________．
答案 2(答案不唯一)
解析 区间[2,3)内任一个实数都符合x∈A且x∈B.
9．集合A是由形如m＋eq \r(3)n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－eq \r(3)，b＝eq \f(1,3－\r(3))，c＝(1－2eq \r(3))2与集合A的关系．
解 因为a＝－eq \r(3)＝0＋(－1)×eq \r(3)，而0，－1∈Z，
所以a∈A；
因为b＝eq \f(1,3－\r(3))＝eq \f(3＋\r(3),3－\r(3)3＋\r(3))＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),6)，
而eq \f(1,2)，eq \f(1,6)∉Z，所以b∉A；
因为c＝(1－2eq \r(3))2＝13＋(－4)×eq \r(3)，
而13，－4∈Z，所以c∈A.
10．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
解 ①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝eq \f(3,2)，符合题意．
②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，
由Δ＝4－12m≤0，得m≥eq \f(1,3)，即当m≥eq \f(1,3)时，
方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．
由①②知m＝0或m≥eq \f(1,3).
11．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N＋，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )
A．147 B．140 C．130 D．117
答案 B
解析 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.
12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
答案 3
解析 根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
13．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝________.
答案 {1,5}
解析 由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出，p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出，x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1,5}．
14．设a∈N，b∈N，a＋b＝2，集合A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3,2)∈A，则a＝________，b＝________.
答案 1 1
解析 由a＋b＝2，得b＝2－a，
代入(x－a)2＋(y－a)2＝5b得，
(x－a)2＋(y－a)2＝5(2－a)，①
又因为(3,2)∈A，将点代入①，可得
(3－a)2＋(2－a)2＝5(2－a)，
整理，得2a2－5a＋3＝0，
解得a＝1或1.5(舍去，因为a是自然数)，
所以a＝1，所以b＝2－a＝1，综上，a＝1，b＝1.
15．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
答案 6
解析 根据“孤立元”的定义，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共有6个．
16．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且eq \f(a,b)∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解 (1)数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N,2∈N，
而eq \f(3,2)＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而eq \f(3,－2)＝－1.5∉Z，
故N，Z不是闭集．
(2)数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，eq \f(a,b)(b≠0)仍是有理数，
故Q是闭集，同理R是闭集．