高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第2课时导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第2课时导学案及答案，共11页。学案主要包含了综合法的应用，分析法的应用，反证法的应用等内容，欢迎下载使用。

知识点一 综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．
知识点二 分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
知识点三 反证法
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．
1．综合法是从结论向已知的逆推证法．( × )
2．综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程．( √ )
3．用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”．( √ )
4．用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( × )
一、综合法的应用
例1 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，
得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).
又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
延伸探究
本例条件不变的情况下，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d).
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
反思感悟 综合法处理问题的三个步骤
跟踪训练1 (1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac0.求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
证明 (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，
∴－ac0，且x＋y>2，求证：eq \f(1＋y,x)与eq \f(1＋x,y)至少有一个小于2.
证明 假设eq \f(1＋y,x)与eq \f(1＋x,y)都不小于2，
即eq \f(1＋y,x)≥2，eq \f(1＋x,y)≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
故eq \f(1＋y,x)与eq \f(1＋x,y)至少有一个小于2.
1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
答案 B
解析 “恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.
2．求证：eq \r(7)－1>eq \r(11)－eq \r(5).
证明：要证eq \r(7)－1>eq \r(11)－eq \r(5)，
只需证eq \r(7)＋eq \r(5)>eq \r(11)＋1，
即证7＋2eq \r(7×5)＋5>11＋2eq \r(11)＋1，即证eq \r(35)>eq \r(11)，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了( )
A．分析法B．综合法
C．分析法与综合法配合使用D．反证法
答案 A
解析 该证明方法符合分析法的定义，故选A.
3．(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
A．结论的反设 B．已知条件
C．定义、公理、定理等 D．原结论
答案 ABC
解析 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
4．(多选)下列命题中，不正确的是( )
A．若a＜b＜0，则eq \f(1,a－b)＞eq \f(1,a)
B．若ac>bc，则a>b
C．若eq \f(a,c2)d，则a－c>b－d
答案 ABD
解析 ∵a＜b＜0，
∴a－b＜0，a＜0，∴(a－b)a＞0.
又∵eq \f(1,a－b)－eq \f(1,a)＝eq \f(b,aa－b)＜0，
∴eq \f(1,a－b)＜eq \f(1,a)，可知A错误；
当cbc⇒aP2.
∴Pa；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推得eq \f(1,a)0，
∴1＋x≥1＋x＋eq \f(x2,4)，即0≥eq \f(x2,4)，
∴x＝0，与条件x>0矛盾．
∴假设不成立，故eq \r(1＋x)0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设Pb
解析 ∵a2－c2＝2－(8－4eq \r(3))＝eq \r(48)－eq \r(36)>0，
又a>0，c>0，∴a>c，
又∵b＝eq \r(7)－eq \r(3)＝eq \f(4,\r(7)＋\r(3))，c＝eq \r(6)－eq \r(2)＝eq \f(4,\r(6)＋\r(2))，∵eq \r(7)＋eq \r(3)>eq \r(6)＋eq \r(2)，∴c>b，∴a>c>b.
14．如果aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)，则实数a，b应满足的条件是________．
答案 a≥0，b≥0且a≠b
解析 aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)⇔aeq \r(a)－aeq \r(b)>beq \r(a)－beq \r(b)⇔a(eq \r(a)－eq \r(b))>b(eq \r(a)－eq \r(b))⇔(a－b)(eq \r(a)－eq \r(b))>0⇔(eq \r(a)＋eq \r(b))(eq \r(a)－eq \r(b))2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
15．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
答案 ③
解析 若a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)，则a＋b＝1，但a2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
16．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
证明 假设三个方程都没有两个相异实根．
则Δ1＝4b2－4ac≤0，
Δ2＝4c2－4ab≤0，
Δ3＝4a2－4bc≤0，
上述三个式子相加得，
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
所以a＝b＝c这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾．
因此假设不成立，故三个方程ax2＋2bx＋c＝0，
bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．