高中数学人教版新课标B必修1本节综合第2课时学案

这是一份高中数学人教版新课标B必修1本节综合第2课时学案，共12页。

第2课时　补　集
学习目标　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用维恩图、数轴进行集合的运算．

知识点一　全集
(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考　全集一定是实数集R吗？
答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0 知识点二　补集
文字语言
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合称为A在U中的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
图形语言


知识点三　补集运算的性质
给定全集U及其任意一个子集A，有
①A∪(∁UA)＝U；
②A∩(∁UA)＝∅；
③∁U(∁UA)＝A.

1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM等于(　　)
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{1,2,4} D．U
答案　A
解析　因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁UM＝{2,4,6}．
2．已知全集U＝R，区间P＝[－1,1]，那么∁UP等于(　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案　D
解析　因为P＝[－1,1]，U＝R，
所以∁UP＝∁RP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
3．若全集U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　)
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
答案　C
解析　A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7个．
4．设全集为U，M＝{1,2}，∁UM＝{3}，则U＝________.
答案　{1,2,3}
解析　U＝M∪(∁UM)＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．
5．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∪B)＝________.
答案　{5}
解析　∵A∪B＝{1,2,3,4}，∴∁U(A∪B)＝{5}．

一、全集与补集
例1　(1)若区间U＝[－2,2]，则A＝[－2,0]的补集∁UA为(　　)
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,2] D．[0,2]
答案　C
解析　借助数轴易得∁UA＝(0,2]．

(2)设U＝{x|－5≤x<－2或2 答案　{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5}
解析　方法一　在集合U中，
因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
所以∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
方法二　可用维恩图表示

则∁UA＝{－5，－4,3,4}，
∁UB＝{－5，－4,5}．
反思感悟　求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含．
跟踪训练1　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
答案　{2,3,5,7}
解析　方法一　(定义法)：
因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，
所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又∁UB＝{1,4,6}，
所以B＝{2,3,5,7}．
方法二　(维恩图法)：
满足题意的维恩图如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.
答案　{x|x<－3或x＝5}
解析　将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．

由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．
二、交、并、补的综合运算
例2　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)等于(　　)
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
答案　A
解析　因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，
所以A∩(∁UB)＝{2,5}．
(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1 解　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示，

因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1 所以A∩B＝{x|－13}．
又P＝，
所以(∁UB)∪P＝.
又∁UP＝，
所以(A∩B)∩(∁UP)
＝{x|－1 ＝{x|0 延伸探究
1．(变问法)在本例(2)的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．
解　画出数轴，如图所示，

观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝.
2．(变条件)将本例(2)中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB)．
解　画出数轴，如图所示，

观察数轴可知A∪(∁UB)＝{x|x<2或3
反思感悟　解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
跟踪训练2　已知全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．
解　方法一　∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，
∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵∁UA＝{1,3,6,7,9}，∁UB＝{2,4,6,7,9}，
∴(∁UA)∩(∁UB)＝{6,7,9}，
(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
方法二　作出维恩图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．

三、与补集有关的参数的范围问题
例3　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2 解　方法一(直接法)　由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2
所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是[2，＋∞)．
方法二(集合间的关系)　由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，
又B＝{x|－2 结合数轴：

得－m≤－2，即m≥2.

延伸探究
1．将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解　由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以∁UA＝{x|x<－m}，
又(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)，
所以－m≥4，解得m≤－4.
2．将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解　由已知A＝{x|x≥－m}，
∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(∁UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
反思感悟　由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合相关知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
跟踪训练3　已知集合A＝{x|x0}．若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．
解　∵B＝{x|x<－1或x>0}，
∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，
∴要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.

即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．

1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA等于(　　)
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．∅
答案　B
解析　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}．

2．设全集U＝R，集合A＝(1,4)，集合B＝[2,5)，则A∩(∁UB)等于(　　)
A．[1,2) B．(－∞，2)
C．[5，＋∞) D．(1,2)
答案　D
解析　∁UB＝(－∞，2)∪[5，＋∞)，A∩(∁UB)＝(1,2)．
3.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)

A．{3,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,5} D．{3,4}
答案　D
解析　由题图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)．
∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，
∴∁U(M∪N)＝{3,4}．
4．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁RB)＝________，A∪(∁RB)＝________.
答案　{x|－1≤x<3}　{x|x≥－2}
解析　∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，
∴∁RB＝{x|x≥－1}，
∴A∩(∁RB)＝{x|－1≤x<3}，A∪(∁RB)＝{x|x≥－2}．
5．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________．
答案　∁UA∁UB
解析　先求出∁UA＝{x|x<0}，∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁UA∁UB.

1．知识清单：
(1)全集和补集的概念及运算．
(2)并、交、补集的混合运算．
(3)与补集有关的参数的求解．
2．方法归纳：
正难则反的补集思想、数形结合．
3．常见误区：
求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．




1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)等于(　　)
A．{1,6} B．{1,7}
C．{6,7} D．{1,6,7}
答案　C
解析　∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴∁UA＝{1,6,7}．
又B＝{2,3,6,7}，∴B∩(∁UA)＝{6,7}．
2．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|－3 A．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B．(－3,3)
C．(1,3] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案　D
解析　B＝{x|－3 所以A∪(∁RB)＝{x|x≤－3或x≥1}．
3．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB等于(　　)
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}
答案　B
解析　由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．
4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤3}
答案　D
解析　由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．
5．(多选)若全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)中的元素有(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　ACD
解析　∵M＝{1,3}，N＝{2,3}，∴M∩N＝{3}，
∴∁U(M∩N)＝{1,2,4}．
6．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________，为∅ 的是________．(填序号)
①Z∪(∁UN)；②N∩(∁UN)；③∁U(∁U∅)；④∁UQ.
答案　①　②③
解析　结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，
可知Z∪(∁UN)＝R，N∩(∁UN)＝∅，∁U(∁U∅)＝∅.
7．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x 答案　2
解析　因为∁UA＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．
所以b＝2.
8．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝________.
答案　M
解析　由N∩(∁IM)＝∅，知N与∁IM没有公共元素，依据题意画出维恩图，如图所示，

可得N⊆M，所以M∪N＝M.
9．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B.
解　方法一　(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}，
∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，
(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
方法二　(维恩图法)：画出维恩图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．

10．已知A＝{x|－1 (1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B⊆(∁RA)，求实数m的取值范围．
解　(1)m＝1，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1 (2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}，
当B＝∅时，即m≥1＋3m，
解得m≤－，满足B⊆(∁RA)，
当B≠∅时，使B⊆(∁RA)，
即或解得m>3，
综上所述，m的取值范围是.

11．(多选)已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则(　　)
A．(∁UM)⊇(∁UN)
B．(∁UM)⊆(∁UN)
C．(∁UM)∩(∁UN)＝(∁UM)
D．(∁UM)∪(∁UN)＝(∁UN)
答案　BCD
解析　∵M∩N＝N，∴N⊆M，
∴(∁UM)⊆(∁UN)，同样CD都正确．
12．定义差集A－B＝{x|x∈A且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(　　)

答案　A
解析　如图所示，

A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．
13．设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
答案　－3
解析　∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
14．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
答案　m－n
解析　∵(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素，
如图所示阴影部分，

又∵U＝A∪B中有m个元素，
故A∩B中有m－n个元素．

15．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z等于(　　)
A．(X∪Y)∩∁UZ B．(X∩Y)∪∁UZ
C．(∁UX∪∁UY)∩Z D．(∁UX∩∁UY)∪Z
答案　B
解析　依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)，
(X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]
＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]
＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁UZ)
＝(X∩Y)∪(∁UZ)．
16．对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有
A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，
B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，
据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
解　(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．
(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，
∴A＝{1,2}，B＝{2}．
(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．