高中数学第一章 集合1.2 集合之间的关系与运算本节综合第2课时导学案

这是一份高中数学第一章 集合1.2 集合之间的关系与运算本节综合第2课时导学案，共9页。学案主要包含了充分不必要，充要条件的证明，探求充要条件等内容，欢迎下载使用。
第2课时　充要条件
学习目标　1.理解充要条件的概念.2.能够判定条件的充分、必要、充要性.3.会进行简单的充要条件的证明．

知识点　充要条件
1．一般地，如果p⇒q且q⇏ p，则称p是q的充分不必要条件．
2．一般地，如果p⇏ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
3．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.

1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　√　)
2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)
3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(　√　)
4．q不是p的必要条件时，“p⇏ q”成立．(　√　)

一、充分不必要、必要不充分、充要条件的判断
例1　判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a>0；
(2)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
解　(1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图像开口向上⇔a>0，所以p是q的充要条件．
(2)∵p⇒q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，
所以p是q的充要条件．
(4)∵p不能推出q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分条件．
反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
跟踪训练1　(多选)在下列四个结论中，正确的有(　　)
A．设x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．“a2>b2”是“a>b”的充分不必要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
答案　AD
解析　对于结论A，∵x>2⇒x>1，但x>1⇏ x>2，故A正确；对结论B，由于不知道斜边，所以不是充要条件；C显然不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故D正确．
二、充要条件的证明
例2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
反思感悟　充要条件的证明思路
一般地，证明“p成立的充要条件为q”；
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
跟踪训练2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1·x2＝0”，
“>0”⇒“或”，
所以“”是“>0”的充分不必要条件．
8．下列命题中是真命题的是________．(填序号)
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；
③“b2－4ac2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac