高中数学人教版新课标B必修1本节综合第1课时导学案

这是一份高中数学人教版新课标B必修1本节综合第1课时导学案，共11页。学案主要包含了充分条件的判断，必要条件的判断，充分条件与必要条件的应用等内容，欢迎下载使用。

1.2.3　充分条件、必要条件
第1课时　充分条件、必要条件
学习目标　1.理解充分条件、必要条件的定义.2.会判断充分条件、必要条件.3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求参数的取值范围．

知识点
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件

思考　(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
答案　(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．
2．充分条件与必要条件的判断

3．充分条件、必要条件与集合的关系
A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A⊆B
p是q的充分条件
q是p的必要条件
A ⊈ B
p是q的不充分条件
q是p的不必要条件
B⊆A
q是p的充分条件
p是q的必要条件
B⊈A
q是p的不充分条件
p是q的不必要条件
思考　(1)“x<2”是“x<3”的________条件，“x<3”是“x<2”的________条件．
(2)若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？
答案　(1)充分　必要．
(2)不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p也可以是“x>2”“x>3”或“2
1．“x＝1”是(x－1)(x－2)＝0的________条件(填“充分”“必要”)．
答案　充分
2．设集合M＝{x|0 答案　必要
3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．(填“充分”“必要”)
答案　必要
解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，
∴p是q的必要条件．
4．下列说法不正确的是________．(填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2 答案　②
解析　②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．

一、充分条件的判断
例1　下列命题中，p是q的充分条件的是________(填序号)．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：a>2且b>2，q：a＋b>4，ab>4.
答案　③
解析　①∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件．
②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，
∴p不是q的充分条件．
③由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，
∴p是q的充分条件．
反思感悟　充分条件的两种判定方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1　判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．(填序号)
①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”；
③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0.
答案　①③
解析　①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件．
②由a＋b>0不能推出ab>0，故p不是q的充分条件．
③因为a>b>1⇒a2>b2>0，所以p是q的充分条件．
二、必要条件的判断
例2　在下列各命题中，q是p的必要条件吗？为什么？
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
解　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，
∴q是p的必要条件．
(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，
∴q不是p的必要条件．
(3)∵方程x2－x－m＝0无实根，
∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0，
解得m<－.
∵m<－2⇒m<－，
∴q是p的必要条件．
反思感悟　必要条件判定方法
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．
(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围．
(3)传递法：由推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件．
跟踪训练2　在以下命题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2同时y>3，q：x＋y>5；
(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
(3)p：α为锐角，q：α＝45°；
(4)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.
解　(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．
(3)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(4)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
三、充分条件与必要条件的应用
例3　已知命题p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要条件，但不是充分条件．求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要条件，但不是充分条件，
所以q是p的充分条件但不是必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.又m>0，
所以实数m的取值范围为(0,3]．
延伸探究
若本例中“p是q的必要条件但不是充分条件”改为“p是q的充分条件但不是必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分条件但不是必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是[9，＋∞)．
反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练3　已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解　由已知可得A＝＝，
B＝{x|x≥－2m}．
(1)若p是q的充分条件，
则p⇒q，所以A⊆B，
所以－2m≤－，所以m≥，
即m的取值范围是.
(2)若p是q的必要条件，
则q⇒p，所以B⊆A，
所以－2m≥－，解得m≤.
即m的取值范围是.

1．若p是q的充分条件，则q是p的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
答案　B
解析　因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．

2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案　C
3．“－21或x<－1”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件，也是必要条件
答案　C
解析　∵－21或x<－1，且x>1或x<－1⇏－21或x<－1”的既不充分也不必要条件．
4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
答案　必要　充分
解析　由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，1]
解析　因为x>1⇒x>a，所以a≤1.

1．知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念．
(2)充分条件、必要条件的判断．
(3)充分条件与必要条件的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：
充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．






1．(多选)使x>3成立的充分条件可以是(　　)
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．5 答案　AD
解析　x>4⇒x>3,53.
2．(多选)使x>1成立的一个必要条件是(　　)
A．x>0 B．x>3
C．x>2 D．x>－1
答案　AD
解析　x>1⇒x>0，x>1⇒x>－1，其他选项均不可由x>1推出．
3．下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
答案　A
解析　根据充分条件的概念逐一判断．
4．下面四个条件中，使a>b成立的充分但是不必要条件是(　　)
A．a≥b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．|a|>|b|
答案　A
解析　由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5,4≤3.5＋1，故a>b ⇏ a≥b＋1.
5．“a>b”是“a>|b|”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案　B
解析　由a>|b|⇒a>b，而由a>b推不出a>|b|.
∴“a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件．
6．已知a，b都是实数，那么“>”是“|a|>|b|”的________条件，“|a|>|b|”是“>”的________条件．(填“充分”或“必要”)
答案　充分　必要
解析　>可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，
但|a|>|b|不可以推出>.
7．已知p：a≤x≤a＋1，q：0 答案　(0,3)　∅
解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0 ∵p是q的充分条件，∴M⊆N，
∴解得0 由p是q的必要条件，N⊆M，
∴无解．
8．下列不等式：
①x<1；②0 其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________．
答案　②③④
解析　由于x2<1，即－1 9．指出下列各题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a 解　在(1)中，由大角对大边，且∠A>∠B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定得出a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，满足a1；
当a＝2，b＝－1时，满足＝－2<1，但a>b.
所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
10．已知p： (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解　记A＝，
B＝{x|0 (1)若p是q的充分条件，则A⊆B.
注意到B＝{x|0 ①若A＝∅，即≥，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意．
②若A≠∅，即<，解得m>0，
要使A⊆B，应有解得0 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若p是q的必要条件，则B⊆A.
分两种情况讨论：
①若≥，即m≤0时，A＝∅，不符合题意．
②若A≠∅，即<，解得m>0.
要使B⊆A，应有解得m≥3.
综上可得，实数m的取值范围是[3，＋∞)．

11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是(　　)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
答案　B
解析　“a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“(a－b)c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
12．(多选)下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　)
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1
答案　AC
解析　因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
所以即解得a<0.
13．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(填“充分”或“必要”)．
答案　充分
解析　若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件．
14．下列式子：
①a<0 其中能使<成立的充分条件有________．(填序号)
答案　①②④
解析　当a<0 当b 当b<0 当0 所以能使<成立的充分条件有①②④.

15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案　A
解析　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，如图．

综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
16．若p：－2 解　若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p⇏q.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，
且0 则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
于是0<－a<2,0 即－2 所以p是q的必要条件，但不是充分条件．