人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第1课时导学案，共11页。学案主要包含了函数关系的判断，求函数值，求函数的定义域等内容，欢迎下载使用。

3．1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念(一)
学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
知识点 函数的概念
思考1 在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
答案 确定，一一对应．
思考2 如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
答案 不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．
特别提醒 理解函数的概念应关注三点
(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
1．根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.( × )
2．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
3．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( × )
4．在函数的定义中，集合B是函数的值域．( × )
一、函数关系的判断
例1 (1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
答案 AD
解析 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①中，因为在集合M中当1②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；
③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；
④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．
因此只有②是．
(学生)
反思感悟 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
跟踪训练1 已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，
其中能构成从M到N的函数的是( )
A．① B．② C．③ D．④
答案 D
解析 只有y＝|x|是符合题意的对应关系．
二、求函数值
例2 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq \f(1,x＋2)，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；
(2)求g(f(x))．
解 (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝eq \f(1,x＋2)，
所以g(a)＋g(0)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,0＋2)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,2)(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝eq \f(1,10＋2)＝eq \f(1,12).
(2)g(f(x))＝eq \f(1,fx＋2)＝eq \f(1,2x2＋2＋2)＝eq \f(1,2x2＋4).
(教师)
延伸探究
1．本例的条件不变，求f(f(x))，g(g(x))．
解 f(f(x))＝2(f(x))2＋2＝2(2x2＋2)2＋2
＝8x4＋16x2＋10，
g(g(x))＝eq \f(1,gx＋2)＝eq \f(1,\f(1,x＋2)＋2)＝eq \f(x＋2,2x＋5).
2．本例的条件不变，若f(a＋1)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＋a＋1，求a的值．
解 由f(a＋1)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＋a＋1得2a2＋3a＋1＝0，
解得a＝－1或a＝－eq \f(1,2).
(学生)
反思感悟 函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练2 若f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f(f(2))的值．
解 f(0)＝eq \f(1－0,1＋0)＝1，f(1)＝eq \f(1－1,1＋1)＝0，
f(1－a)＝eq \f(1－1－a,1＋1－a)＝eq \f(a,2－a)(a≠2)，
f(f(2))＝eq \f(1－f2,1＋f2)＝eq \f(1－\f(1－2,1＋2),1＋\f(1－2,1＋2))＝2.
三、求函数的定义域
例3 求下列函数的定义域：
(1)y＝3－eq \f(1,2)x；(2)y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))；
(3)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；(4)f(x)＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)).
解 (1)函数y＝3－eq \f(1,2)x的定义域为R.
(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以函数y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))
解得x≤5，且x≠±3，
所以函数y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．
(4)要使函数f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－1，,x＋4x－1<0，))
解不等式组得－1≤x<1.
因此函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}．
(学生)
反思感悟 求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
跟踪训练3 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；
(2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)).
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,x≤1.))
所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－3x－2≥0，,4－x>0，))得x≤－eq \f(1,2)或2≤x<4，
所以定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,2)或2≤x<4)))).
函数的判断
典例 在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝eq \f(x,3)；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；
④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.
A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥
C．②③④ D．①②③⑤
答案 D
解析 ①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．
[素养提升] (1)判断一个对应关系是否为函数，是函数定义的具体应用，体现了数学抽象的核心素养．
(2)首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
1．已知函数f(x)＝eq \f(3,x)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))等于( )
A.eq \f(1,a) B.eq \f(3,a) C．a D．3a
答案 D
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝eq \f(3,\f(1,a))＝3a.
2．下列函数中定义域为R的是( )
A．y＝eq \r(x) B．y＝(x－1)0
C．y＝x2＋3 D．y＝eq \f(1,x)
答案 C
解析 A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.
3．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
A．y是x的函数
B．x是y的函数
C．对于不同的x，y也不同
D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
答案 AD
解析 由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．
4．若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝________，f(f(－2))＝________.
答案 －eq \f(1,8) eq \f(9,8)
解析 f(3)＝eq \f(1,1－9)＝－eq \f(1,8)，f(f(－2))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(9,8).
5．函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域是____________________________________________．
答案 {x|x≥－1且x≠1}
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1，
故函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)求函数值．
(3)求函数的定义域．
2．方法归纳：定义法．
3．常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义．
1．(多选)下列四种说法中，正确的有( )
A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
答案 ACD
解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
3．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是( )
A．f：x→y＝eq \f(1,8)x B．f：x→y＝eq \f(1,4)x
C．f：x→y＝eq \f(1,2)x D．f：x→y＝x
答案 ABC
解析 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．
4．函数f(x)＝eq \f(\r(1－3x),x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,3)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0答案 D
解析 要使f(x)有意义，只需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3x≥0，,x≠0，))
即x≤eq \f(1,3)且x≠0.
5．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
答案 B
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误．
6．若f(x)＝eq \f(2x,x2＋2)，则f(1)＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 f(1)＝eq \f(2,1＋2)＝eq \f(2,3).
7．已知函数f(x)＝eq \f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，则t＝________.
答案 －eq \f(5,6)
解析 由f(t)＝6，得eq \f(1,1＋t)＝6，即t＝－eq \f(5,6).
8．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有________个．
答案 8
解析 利用列表法确定函数的个数．
9.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \r(3x－1)＋eq \r(1－2x)＋4；
(2)f(x)＝eq \f(x＋30,\r(|x|－x)).
解 (1)要使函数式有意义，必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1≥0，,1－2x≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,3)，,x≤\f(1,2).))所以eq \f(1,3)≤x≤eq \f(1,2)，
即函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x≤\f(1,2))))).
(2)要使函数式有意义，必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－3，,x<0.))
所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．
10．已知函数f(x)＝eq \f(6,x－1)－eq \r(x＋4).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解 (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为{x|x≥－4且x≠1}．
(2)f(－1)＝eq \f(6,－2)－eq \r(－1＋4)＝－3－eq \r(3).
f(12)＝eq \f(6,12－1)－eq \r(12＋4)＝eq \f(6,11)－4＝－eq \f(38,11).
11．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝eq \f(1,x) D．f(x)＝|x|
答案 A
解析 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．
对于C选项，f(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(1,x)＋1，不成立．
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．
12．若函数f(x)＝eq \f(\r(3,x－1),mx2＋x＋3)的定义域为R，则m的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,12)))))
解析 要使原函数有意义，必须满足mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．
当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>eq \f(1,12).
综上可知，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,12))))).
13．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域是________．
答案 {x|0解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<\f(x,2)<1，,－1解得014．若对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________，f(－1)＝________.
答案 2 0
解析 对∀x∈R，有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，
令x＝1，则2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，则2f(－1)－f(1)＝－2.②
由①②解得f(1)＝2，f(－1)＝0.
15．设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，已知f(8)＝3，则f(eq \r(2))＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 因为f(x·y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝eq \r(2)，得f(2)＝f(eq \r(2))＋f(eq \r(2))，
令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)，令x＝2，y＝4，
得f(8)＝f(2)＋f(4)，所以f(8)＝3f(2)＝6f(eq \r(2))，
又f(8)＝3，所以f(eq \r(2))＝eq \f(1,2).
16．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系吗？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))的值．
解 (1)由f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)＝1－eq \f(1,x2＋1)，
所以f(2)＝1－eq \f(1,22＋1)＝eq \f(4,5)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5).
f(3)＝1－eq \f(1,32＋1)＝eq \f(9,10)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1－eq \f(1,\f(1,9)＋1)＝eq \f(1,10).
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.
证明如下：f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))
＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝1.
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝2 019.概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5