2021学年第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示第2课时学案设计

这是一份2021学年第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示第2课时学案设计，共11页。学案主要包含了分段函数求值，分段函数的图象及应用，分段函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。
第2课时　分段函数
学习目标　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质．

知识点　分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
思考　分段函数是一个函数还是几个函数？
答案　分段函数是一个函数，而不是几个函数．

1．分段函数由几个函数构成．(　×　)
2．函数f(x)＝是分段函数．(　√　)
3．分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　√　)
4．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　×　)

一、分段函数求值
例1　已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f ；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
解　(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(1)＝3×1＋5＝8，f ＝f 
＝f ＝3×＋5＝.
(2)因为a2＋2≥2，
所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，
解得a≥1或a≤－，
即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．
(教师)
延伸探究
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去；
当－22x可化为x＋1>2x，
即x－5，所以－22x，则x∈∅.
综上可得，x的取值范围是{x|x2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.
综上可知，x0＝－或x0＝10.
二、分段函数的图象及应用
例2　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
(学生)
反思感悟　分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练2　设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．
答案　{y|y≤2}
解析　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x0，由于值域为各段的并集，
所以函数的值域为{－2}∪(0，＋∞)．
5．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
答案　
解析　当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去；
当－1