人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时导学案，共13页。

第2课时　函数的最大(小)值
学习目标　1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．

知识点一　函数的最大值与最小值

最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标

思考1　若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
答案　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．
思考2　若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？
答案　最大值为f(b)，最小值为f(a)．
知识点二　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，
　ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，
　ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．

1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．

答案　－1　2
解析　由图可知，图象最低点的纵坐标为－1，图象最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为－1.
2．函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值为________．
答案　3
解析　根据图象(图略)可知，f(x)max＝3.
3．函数y＝在[2,3]上的最大值为________．
答案　1
解析　∵y＝在[2,3]上单调递减，∴ymax＝f(2)＝1.
4．函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________．
答案　2

一、图象法求函数的最值(值域)
例1　求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
解　y＝|x＋1|－|x－2|＝作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．

所以函数的最大值为3，最小值为－3.
(学生)
反思感悟　图象法求函数最值的一般步骤

跟踪训练1　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值．
解　作出f(x)的图象如图．

由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
二、利用函数的单调性求函数的最值
例2　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1 所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·，
因为x11，x2>1，
所以x1－x2<0，x1x2>1，
所以1－>0，
所以(x1－x2)<0，
所以f(x1) 即函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为
f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，
故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
(学生)
反思感悟　利用函数的单调性求最值的关注点
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
(1)证明　设1≤x1 则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵1≤x11，∴x1x2－1>0，
∴<0，即f(x1) ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
(2)解　由(1)可知f(x)在[1,4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2.
三、函数最值的实际应用
例3　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解　(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000；
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000，
当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．
(学生)
反思感悟　解决函数最值应用题的方法
(1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．
跟踪训练3　将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解　设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，
销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，
则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大，最大利润值为9 000元．

分类讨论求二次函数的最值
典例　求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)．
解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，
所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.

综上，M(a)＝m(a)＝
[素养提升]　(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养．

1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为(　　)

A．f ，f  B．f(0)，f 
C．f ，f(0) D．f(0)，f(3)
答案　B
解析　观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f .
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
答案　D
解析　∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x) 3．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为(　　)
A．[0,3] B．[－1,0]
C．[－1，＋∞) D．[－1,3]
答案　D
解析　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，
∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，
当x＝3时，函数y取得最大值为3，
故函数的值域为[－1,3]．
4．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案　A
解析　当－1≤x<1时，6≤f(x)<8；
当1≤x≤2时，8≤f(x)≤10，
所以f(x)的最大值、最小值分别为10,6.
5．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________ m.
答案　3
解析　设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，
则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.
所以当x＝3时，S有最大值．

1．知识清单：
(1)函数的最大值、最小值定义．
(2)求解函数最值的方法．
2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．


1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　)
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
答案　A
解析　选项B，C在[1,4]上均单调递增，选项A，D在[1,4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确．
2．函数f(x)＝x＋，x∈[0,4]的值域为(　　)
A．[0,3] B．[1,4]
C．[0,6] D．[0,4]
答案　C
解析　∵函数y＝x＋在区间[0,4]上单调递增，
所以f(x)∈[f(0)，f(4)]＝[0,6]．
3．函数f(x)＝的最大值为(　　)
A．1 B．2 C. D.
答案　B
解析　当x≥1时，函数f(x)＝单调递减，
此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；
当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.
综上可得，f(x)的最大值为2.
4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
答案　C
解析　设公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
答案　D
解析　f(x)＝(x－1)2＋2，
∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，
且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
∴1≤m≤2.
6．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
答案　1
解析　若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.
7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a 答案　－2　0
解析　y＝－(x－3)2＋18，
∵a 即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，
得a＝－2.
8．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
答案　2
解析　f(x)的图象如图，则f(x)的最大值为f(2)＝2.

9．已知函数f(x)＝(x>0)．
(1)求证：f(x)在(0,1]上单调递增；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
(1)证明　设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1 ＝＝.
当00，x1x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1) ∴f(x)在(0,1]上单调递增．
(2)解　当1≤x10，x1x2－1>0，
f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值．
10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12

(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解　(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由表格得方程组解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，
即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．

11．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　易知f(x)＝＝2＋，
所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，
所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，
所以＝＝.
12．已知实数a，b满足|a－2b＋1|＋＝0，函数y＝x2＋a－(1≤x≤2)，则y的取值范围是__________．
答案　[2,6]
解析　∵实数a，b满足|a－2b＋1|＋＝0，
化简可得|a－2b＋1|＋＝0，
∴解方程组可得
代入解析式可得y＝x2＋3－(1≤x≤2)．
∵y＝x2与y＝－在1≤x≤2上y随x的增大而增大，
∴y＝x2＋3－在1≤x≤2上y随x的增大而增大．
∴当x＝1时，y取得最小值为y＝2；
∴当x＝2时，y取得最大值为y＝6.
∴y＝x2＋3－在1≤x≤2上的取值范围是2≤y≤6.
13．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
答案　6
解析　在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．

根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.
14．函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最大值为________；最小值为________．
答案　5　4
解析　设1≤x1 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝x1－x2＋＝(x1－x2)·
＝(x1－x2)＝.
∵1≤x1 ∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上单调递减．
同理：f(x)在[2,4]上单调递增．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；
当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.

15．(多选)已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝
则F(x)的最值情况是(　　)
A．最大值为3 B．最小值为－1
C．无最小值 D．无最大值
答案　CD
解析　由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝
作出函数F(x)的图象(图略)，
可得F(x)无最大值，无最小值．
16．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
(1)证明　设x1，x2是任意的两个实数，且x1 则x2－x1>0，
因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2) 所以f(x)是R上的减函数．
(2)解　由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.