人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算导学案，共12页。学案主要包含了根式与分数指数幂的互化，根式，数式的条件求值问题等内容，欢迎下载使用。

4．1.1 实数指数幂及其运算
学习目标 1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.3.掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握有理数指数幂的运算性质．
知识点一 根式
1．a的n次方根的概念
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．
2．根式的意义和性质
当eq \r(n,a)有意义时，eq \r(n,a)称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
根式的性质：
(1)(eq \r(n,a))n＝a；
(2)eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，当n为奇数时，,|a|，当n为偶数时.))
知识点二 分数指数幂
1．分数指数幂的意义
2.有理数指数幂的运算法则
(1)asat＝as＋t(s，t∈Q)；
(2)(as)t＝ast(s，t∈Q)；
(3)(ab)s＝asbs(b>0，s∈Q)．
知识点三 实数指数幂
无理数指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．因此当a>0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理数指数幂的运算法则仍然成立．
1．当n∈N＋时，(eq \r(n,－16))n都有意义．( × )
2．＝.( × )
3.eq \r(3－π2)＝π－3.( √ )
4．0的任何指数幂都等于0.( × )
一、根式与分数指数幂的互化
例1 (1)若有意义，则实数x的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 C
解析 由负分数指数幂的意义可知，
＝eq \f(1,\r(4,x－23))，
所以x－2>0，即x>2，
所以x的取值范围是(2，＋∞)．
(2)根式 eq \r(\f(1,a)·\r(\f(1,a)))(a>0)的分数指数幂的形式为( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 eq \r(\f(1,a)·\r(\f(1,a)))＝ .
(3)(多选)下列各式正确的是( )
A.eq \r(3,m2＋n2)＝ B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝a－2b2
C.eq \r(6,－32)＝D.eq \r(\r(3,4))＝
答案 BD
解析 选项A中，＝eq \r(3,m＋n2)，因此不正确．
选项B中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝a－2b2，因此正确．
选项C中，eq \r(6,－32)＝eq \r(6,32)＝，因此不正确．
选项D中，eq \r(\r(3,4))＝ ，因此正确．
反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律及技巧
(1)规律：根指数分数指数幂的分母．
被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
跟踪训练1 (1)eq \r(3,a·\r(a))化为分数指数幂的形式为______．
答案
解析 eq \r(3,a·\r(a))＝.
(2)将下列各式化为分数指数幂的形式：
①eq \f(1,\r(3,x·\r(5,x2)2))(x>0)；
② eq \r(ab3\r(ab5))(a>0，b>0)．
解 ①原式＝
＝ .
②原式＝
＝
二、根式、分数指数幂的化简与求值
例2 计算下列各式：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))0＋2－2×－0.010.5；
(2)
(3) (a>0，b>0)．
解 (1)原式＝1＋eq \f(1,4)×
＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3
＝eq \f(5,2)－1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＝eq \f(27,16).
(3)原式＝
＝eq \f(4,25)a0b0＝eq \f(4,25).
反思感悟 利用指数幂的运算法则化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练2 计算：
(1)－10(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(3)－eq \r(2))0；
(2) (x>0，y>0，z>0)．
解 (1)原式＝ －10(eq \r(5)＋2)＋1
＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).
(2)原式＝
＝
三、数式的条件求值问题
例3 已知＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
解 (1)∵＝3，∴＝9，
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
(2)∵a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
(3)
＝(a－1＋a－1)＝3×(7－1)＝18.
反思感悟 条件求值问题的常用方法
(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
跟踪训练3 设＝m，则eq \f(a2＋1,a)等于( )
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
答案 C
解析 将＝m平方得＝m2，
即a－2＋a－1＝m2，
所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋eq \f(1,a)＝m2＋2，
得eq \f(a2＋1,a)＝a＋eq \f(1,a)＝m2＋2.
1.eq \r(4,a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥2 B．2≤a<4或a>4
C．a≠2 D．a≠4
答案 B
解析 要使原式有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥0，,a－4≠0，))
解得2≤a<4或a>4.
2．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
答案 C
解析 原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵23．化简的结果为( )
A．5 B.eq \r(5) C．－eq \r(5) D．－5
答案 B
解析 .
4.eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的化简结果是( )
A．1 B．a C． D．
答案 D
解析 原式＝
5．计算：＋(1.5)－2＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 原式＝
＝eq \f(3,2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2＝eq \f(1,2).
1．知识清单：
(1)n次方根的概念．
(2)根式与分数指数幂的相互转化．
(3)实数指数幂的运算．
2．方法归纳：整体代换法．
3．常见误区：对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，a≥0.在运用分数指数幂的运算法则化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．

1．若eq \r(a－1)＋eq \r(3,a－2)有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a≥1
C．a≥2 D．a∈R
答案 B
解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≥0，,a－2∈R，))∴a≥1.
2.eq \r(4,－34) 的值是( )
A．3 B．－3 C．±3 D．81
答案 A
解析 eq \r(4,－34)＝|－3|＝3.
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1\f(1,2)))0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
答案 D
解析 原式＝1－(1－22)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2
＝1－(－3)×eq \f(4,9)＝eq \f(7,3).
4．(多选)下列各式，其中正确的是( )
A．若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
B.eq \r(3,x4＋y3)＝x＋y
C.eq \r(3,－5)＝eq \r(6,－52)
D．若eq \r(n,a)＝－eq \r(n,a)，则a＝0
答案 AD
解析 A项，因为a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
所以(a2－a＋1)0＝1成立；
B项，eq \r(3,x4＋y3)无法化简；
C项，eq \r(3,－5)<0，eq \r(6,－52)>0，故不相等；
D项，因为eq \r(n,a)与－eq \r(n,a)互为相反数，所以a＝0成立．
5．已知ab＝－5，则aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))的值是( )
A．2eq \r(5) B．0 C．－2eq \r(5) D．±2eq \r(5)
答案 B
解析 由题意知ab<0，
aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))＝aeq \r(－\f(ab,a2))＋beq \r(－\f(ab,b2))
＝aeq \r(\f(5,a2))＋beq \r(\f(5,b2))＝aeq \f(\r(5),|a|)＋beq \f(\r(5),|b|)＝0.
6．已知3a＝2,3b＝eq \f(1,5)，则32a－b＝________.
答案 20
解析 32a－b＝eq \f(32a,3b)＝eq \f(3a2,3b)＝eq \f(22,\f(1,5))＝20.
7.eq \r(3,－63)＋eq \r(4,\r(5)－44)＋eq \r(3,\r(5)－43)＝________.
答案 －6
解析 eq \r(3,－63)＝－6，
eq \r(4,\r(5)－44)＝|eq \r(5)－4|＝4－eq \r(5)，
eq \r(3,\r(5)－43)＝eq \r(5)－4，
所以原式＝－6＋4－eq \r(5)＋eq \r(5)－4＝－6.
8． ＋eq \f(－40,\r(2))＋eq \f(1,\r(2)－1)－eq \r(1－\r(5)0)· ＝________.
答案 2eq \r(2)－3
解析 原式＝eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(2))＋eq \r(2)＋1－22＝2eq \r(2)－3.
9．化简与计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))0.5＋0.1－2＋ －3π0＋eq \f(37,48)；
(2)(a>0，b>0)．
解 (1)原式＝－3＋eq \f(37,48)
＝eq \f(5,3)＋100＋eq \f(9,16)－3＋eq \f(37,48)＝100.
(2)原式＝
＝
＝
＝
10．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))的值．
解 因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,ab＝4，))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))))2＝eq \f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))＝eq \f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq \f(1,5).
因为a>b>0，所以eq \r(a)>eq \r(b)，
所以eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5).
11．计算eq \f(2n＋12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2n＋1,4n·8－2)(n∈N＋)的结果为( )
A.eq \f(1,64) B．22n＋5
C．2n2－2n＋6 D．27－2n
答案 D
解析 原式＝eq \f(22n＋2·2－2n－1,22n·23－2)＝eq \f(2,22n－6)＝27－2n.
12．已知a＋eq \f(1,a)＝7，则a2＋a－2＝________，a－a－1＝________.
答案 47 ±3eq \r(5)
解析 因为a＋eq \f(1,a)＝7，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2＝a2＋eq \f(1,a2)＋2＝49，
变形可得a2＋a－2＝a2＋eq \f(1,a2)＝49－2＝47，
(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－4＝49－4＝45，
所以a－a－1＝±3eq \r(5).
13．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
答案 eq \f(1,4)
解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝eq \f(1,5).
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝.
14. eq \r(\f(a2,b) \r(\f(b3,a)\r(\f(a,b3))))(a>0，b>0)用分数指数幂可表示为________．
答案
解析 eq \r(\f(a2,b) \r(\f(b3,a)\r(\f(a,b3))))＝
＝
＝
＝
15．已知a2－3a＋1＝0，则的值为________．
答案 eq \r(5)
解析 由题意得a>0.
∵a2－3a＋1＝0，∴a＋eq \f(1,a)＝3.
而＝a－1＋a＋2＝3＋2＝5，
∴＝eq \r(5).
16．(1)已知2x＋2－x＝a(a为常数)，求8x＋8－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x解 (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2
＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴8x＋8－x＝23x＋2－3x＝(2x)3＋(2－x)3
＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)
＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
(2)
＝ ①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x将②③代入①，得＝－eq \f(\r(3),3).
分
数
指
数
幂
正分数指数幂
① ＝eq \r(n,a)，
②＝(eq \r(n,a))m＝eq \r(n,am)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n∈N＋，且\f(m,n)为既约分数))
负分数指数幂
a－s＝eq \f(1,as)(s是正分数，a≠0)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义