高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则导学案，共9页。学案主要包含了对数式的运算，对数运算法则的综合应用，换底公式的应用等内容，欢迎下载使用。


知识点一 对数运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么：
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaMα＝αlgaM；
(3)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN.
知识点二 换底公式
1．lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0且N≠1，a>0且a≠1)；
(2)＝eq \f(m,n)lgab(a>0且a≠1，b>0，n≠0)；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1，d>0)．
1．积、商的对数可以化为对数的和、差．( √ )
2．lga(xy)＝lgax·lgay.( × )
3．lg2(－5)2＝2lg2(－5)．( × )
4.eq \f(lg25,lg23)＝lg2eq \f(5,3).( × )

一、对数式的运算
例1 计算下列各式的值：
(1)lg345－lg35；
(2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(3)lg 14－2 lg eq \f(7,3)＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解 (1)原式＝lg3eq \f(45,5)＝lg39＝lg332＝2.
(2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5－lg 2＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(3)原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)
＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
反思感悟 解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算法则．常用方法有以下3种
(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开．
(2)将同底数的对数的和、差、倍合并．
(3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
跟踪训练1 计算下列各式的值：
(1)2lg23－lg2eq \f(63,8)＋lg27－；
(2)lg3eq \r(3)＋lg 25＋lg 4－lg2(lg216)．
解 (1)2lg23－lg2eq \f(63,8)＋lg27－
＝lg29－lg2eq \f(63,8)＋lg27－2
＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9×\f(8,63)×7))－2＝3－2＝1.
(2)原式＝eq \f(1,2)lg33＋lg(25×4)－2＝eq \f(1,2)＋2－2＝eq \f(1,2).
二、对数运算法则的综合应用
例2 (1)已知lg312＝a，试用a表示lg324；
(2)设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lgeq \r(108).
解 (1)因为lg312＝lg3(3×4)＝1＋2lg32＝a，
所以lg32＝eq \f(a－1,2)，
所以lg324＝lg3(8×3)＝1＋3lg32
＝1＋3×eq \f(a－1,2)＝eq \f(3a－1,2).
(2)因为108＝4×27＝22×33，
所以lgeq \r(108)＝eq \f(1,2)lg 108＝eq \f(1,2)lg(22×33)
＝eq \f(1,2)lg 22＋eq \f(1,2)lg 33＝lg 2＋eq \f(3,2)lg 3＝a＋eq \f(3,2)b.
反思感悟 对数式的化简、求值一般要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的计算．
跟踪训练2 设lg 6＝a，lg 15＝b，试用a，b表示lgeq \r(108).
解 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg 2＋lg 3＝a，,lg 3＋lg 5＝b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg 2＋lg 3＝a，,lg 3＋1－lg 2＝b，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg 2＝\f(a－b＋1,2)，,lg 3＝\f(a＋b－1,2)，))
所以lgeq \r(108)＝eq \f(1,2)lg 108＝eq \f(1,2)lg(22×33)
＝eq \f(1,2)(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋eq \f(3,2)lg 3
＝eq \f(a－b＋1,2)＋eq \f(3,2)×eq \f(a＋b－1,2)
＝eq \f(2a－2b＋2＋3a＋3b－3,4)＝eq \f(5a＋b－1,4).
三、换底公式的应用
例3 (1)计算：(lg43＋lg83)lg32＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg34)＋\f(1,lg38)))lg32
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2lg32)＋\f(1,3lg32)))lg32
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).
(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645.(用a，b表示)
解 方法一 因为18b＝5，所以b＝lg185.
所以lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg185×9,lg182×18)
＝eq \f(lg185＋lg189,lg182＋lg1818)＝eq \f(a＋b,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))
＝eq \f(a＋b,2－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
方法二 因为18b＝5，所以lg185＝b，
所以lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg18\f(182,9))
＝eq \f(lg189＋lg185,2lg1818－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
方法三 因为lg189＝a,18b＝5，
所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
所以lg3645＝eq \f(lg 45,lg 36)＝eq \f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9)
＝eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)＝eq \f(a＋b,2－a).
反思感悟 利用换底公式计算、化简的常用方法
(1)先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．
(2)一次性地换为常用对数，再化简、通分、求值．
(3)将式子中的对数的底数及真数改为幂的形式，然后利用变形＝eq \f(n,m)lgab.
跟踪训练3 已知lg23＝a，lg37＝b，用a，b表示lg4256.
解 因为lg23＝a，所以eq \f(1,a)＝lg32，
又因为lg37＝b，
所以lg4256＝eq \f(lg356,lg342)＝eq \f(lg37＋3lg32,lg37＋lg32＋1)＝eq \f(ab＋3,ab＋a＋1).
有附加条件的对数式求值问题
典例 已知3a＝4b＝c，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，求实数c的值．
解 由3a＝4b＝c，得a＝lg3c，b＝lg4c，
所以eq \f(1,a)＝eq \f(1,lg3c)＝lgc3，eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg4c)＝lgc4.
又eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，所以lgc3＋lgc4＝lgc12＝2，
即c2＝12，又3a＝4b＝c>0，所以c＝2eq \r(3).
[素养提升] 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上化为同底的对数，以便利用对数的运算性质，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．
1．lg5eq \f(1,3)＋lg53等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．lg5eq \f(10,3)
答案 A
解析 lg5eq \f(1,3)＋lg53＝lg5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×3))＝lg51＝0.
2．计算：2lg510＋lg50.25等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 原式＝lg5102＋lg50.25
＝lg5(102×0.25)＝lg525＝2.
3．计算lg32·lg227的值为( )
A．2 B．3 C.eq \f(1,3) D．－3
答案 B
解析 lg32·lg227＝eq \f(lg 2,lg 3)·eq \f(lg 27,lg 2)＝eq \f(lg 27,lg 3)＝lg327＝3.
4．计算：＋2lg 2－lg eq \f(1,25)＝________.
答案 eq \f(9,4)
解析 原式＝＋lg 4－(lg 1－lg 25)
＝eq \f(1,4)＋lg(4×25)＝eq \f(1,4)＋2＝eq \f(9,4).
5．计算：lg5eq \f(1,3)·lg36·lg6eq \f(1,25)＝________.
答案 2
解析 原式＝eq \f(lg \f(1,3),lg 5)·eq \f(lg 6,lg 3)·eq \f(lg \f(1,25),lg 6)
＝eq \f(－lg 3,lg 5)·eq \f(lg 6,lg 3)·eq \f(－2lg 5,lg 6)＝2.
1．知识清单：
(1)对数的运算法则．
(2)换底公式．
2．方法归纳：数学运算法．
3．常见误区：利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件．

1．化简eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)的结果为( )
A．6eq \r(2) B．12eq \r(2) C．lg6eq \r(3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 原式＝lg6eq \r(12)－lg62＝lg6eq \f(\r(12),2)＝lg6eq \r(3).
2．计算eq \f(lg849,lg27)的值是( )
A．2 B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 eq \f(lg849,lg27)＝eq \f(\f(2,3)lg27,lg27)＝eq \f(2,3).
3．计算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg64＋lg63))(lg312－2lg32)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 B
解析 ∵eq \f(1,2)lg64＋lg63＝＋lg63
＝lg62＋lg63＝lg66＝1，
lg312－2lg32＝lg312－lg34＝lg33＝1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg64＋lg63))(lg312－2lg32)＝1.
4．计算lg225·lg32eq \r(2)·lg59的结果为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 原式＝eq \f(lg 25,lg 2)·eq \f(lg 2\r(2),lg 3)·eq \f(lg 9,lg 5)
＝eq \f(2lg 5,lg 2)·eq \f(\f(3,2)lg 2,lg 3)·eq \f(2lg 3,lg 5)＝6.
5．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)等于( )
A.eq \f(1,3) B．3 C．－eq \f(1,3) D．－3
答案 A
解析 由2.5x＝1 000,0.25y＝1 000得
x＝lg2.51 000＝eq \f(3,lg 2.5)，y＝lg0.251 000＝eq \f(3,lg 0.25)，
∴eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝eq \f(lg 2.5,3)－eq \f(lg 0.25,3)＝eq \f(1,3).
6．已知a2＝eq \f(16,81)(a>0)，则＝________.
答案 2
解析 由a2＝eq \f(16,81)(a>0)得a＝eq \f(4,9)，
所以原式＝＝2.
7．lg3eq \r(27)＋lg 4＋lg 25＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))0＝________.
答案 eq \f(9,2)
解析 原式＝eq \f(3,2)＋lg 102＋1＝eq \f(3,2)＋2＋1＝eq \f(9,2).
8．若lgab·lg3a＝4，则b的值为________．
答案 81
解析 ∵lgab·lg3a＝eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝eq \f(lg b,lg 3)＝4，
∴lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81.
9．若2a＝3,3b＝5，试用a与b表示lg4572.
解 ∵2a＝3,3b＝5，∴lg23＝a，lg35＝b，
∴lg25＝lg23·lg35＝ab，
∴lg4572＝eq \f(lg272,lg245)＝eq \f(lg223×32,lg232×5)
＝eq \f(3＋2lg23,2lg23＋lg25)＝eq \f(3＋2a,2a＋ab).
10．解方程lg3(x－1)＝lg9(x＋5)．
解 由换底公式，得lg9(x＋5)＝eq \f(1,2)lg3(x＋5)．
∴原方程可化为2lg3(x－1)＝lg3(x＋5)，
即lg3(x－1)2＝lg3(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5.
∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
又∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x＋5>0，))∴x>1，故x＝4.
11．方程lg3(x2－10)＝1＋lg3x的解是( )
A．－2 B．－2或5
C．5 D．3
答案 C
解析 原方程可化为lg3(x2－10)＝lg3(3x)，
所以x2－10＝3x，解得x＝－2或x＝5.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－10>0，,x>0，))解得x>eq \r(10)，故x＝5.
12．设lg83＝p，lg35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B.eq \f(1,5)(3p＋2q)
C.eq \f(3pq,1＋3pq) D．pq
答案 C
解析 ∵lg83＝eq \f(lg 3,lg 8)＝eq \f(lg 3,3lg 2)＝p，∴lg 3＝3plg 2.
∵lg35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝q，∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
∴lg 5＝eq \f(3pq,1＋3pq).
13．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则eq \f(x,y)＝________.
答案 4
解析 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，y>0，,x－2y>0，,xy＝x－2y2.))
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0且x－2y>0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则eq \f(x,y)＝4.
14．若3x＝4y＝36，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝________.
答案 1
解析 由3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得
xlg63＝ylg64＝2，∴eq \f(2,x)＝lg63，eq \f(2,y)＝lg64，
即eq \f(1,y)＝lg62，故eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝lg63＋lg62＝1.
15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
答案 eq \f(1,35)
解析 方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程．
∵α，β是原方程的两根，
∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．
由根与系数的关系，得
lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg eq \f(1,35)，
∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝lg eq \f(1,35)，即αβ＝eq \f(1,35).
16．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
(1)解 设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝lg3k，y＝lg4k，z＝lg6k，
由2x＝py，得2lg3k＝plg4k＝p·eq \f(lg3k,lg34)，
∵lg3k≠0，∴p＝2lg34.
(2)证明 ∵eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg6k)－eq \f(1,lg3k)＝lgk6－lgk3＝lgk2＝eq \f(1,2)lgk4＝eq \f(1,2y)，∴eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).