高中数学人教B版 (2019)必修第二册4.2.3 对数函数的性质与图像学案

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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第二册4.2.3 对数函数的性质与图像学案，共11页。学案主要包含了比较大小，解对数不等式，对数函数的综合应用等内容，欢迎下载使用。

一、比较大小
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)lga3.1，lga5.2(a>0且a≠1)；
(3)lg30.2，lg40.2；
(4)lg3π，lgπ3.
解 (1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3(2)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，所以lga3.1当0又3.1<5.2，所以lga3.1>lga5.2.
综上所述，当a>1时，lga3.1当0lga5.2.
(3)因为0>lg0.23>lg0.24，所以eq \f(1,lg0.23)即lg30.2(4)因为函数y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，
所以lg3π>lg33＝1.
同理，1＝lgππ>lgπ3，所以lg3π>lgπ3.
反思感悟比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图像，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
跟踪训练1 设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析因为a＝lg32lg22＝1，
由对数函数的性质可知lg52二、解对数不等式
例2 解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)lga(2x－5)>lga(x－1)．
解 (1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,4－x>0，,x<4－x，))解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－5>0，,x－1>0，,2x－5>x－1.))
解得x>4.
当00，,x－1>0，,2x－5解得eq \f(5,2)综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0反思感悟常见对数不等式的2种解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解．
跟踪训练2 若lgaeq \f(2,5)<1(a>0且a≠1)，求实数a的取值范围．
解 lgaeq \f(2,5)<1，即lgaeq \f(2,5)当a>1时，函数y＝lgax在定义域内是增函数，
所以lgaeq \f(2,5)当0由lgaeq \f(2,5)所以实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,5)))∪(1，＋∞)．
三、求对数型复合函数的单调区间或值域
例3 求函数y＝的单调递增区间，并求函数的最小值．
解要使y＝有意义，则1－x2>0，
所以x2<1，即－1因此函数y＝的定义域为(－1,1)．
令t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当x∈(－1,0]时，若x增大，则t增大，y＝减小，
所以当x∈(－1,0]时，y＝是减函数；
同理当x∈[0,1)时，y＝是增函数．
故函数y＝的单调递增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝＝0.
反思感悟 (1)解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域．
(2)利用换元法以及复合函数的单调性求解最值．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(x2＋4)；
(2)y＝(3＋2x－x2)．
解 (1)y＝lg2(x2＋4)的定义域为R.
因为x2＋4≥4，
所以lg2(x2＋4)≥lg24＝2.
所以y＝lg2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0又y＝u在(0,4]上为减函数，
所以u≥4＝－2，
所以y＝(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
四、对数函数的综合应用
例4 已知函数f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
解 (1)要使此函数有意义，
则有eq \f(x＋1,x－1)>0，即(x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－1，
故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－x)＝lgaeq \f(－x＋1,－x－1)＝lgaeq \f(x－1,x＋1)
＝－lgaeq \f(x＋1,x－1)＝－f(x)．
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
所以f(x)为奇函数．
f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x－1)))，
函数u＝1＋eq \f(2,x－1)在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a>1时，f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；
当0反思感悟 (1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称，再利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)判断函数是奇函数还是偶函数．
(2)求函数的单调区间有两种思路：①易得到单调区间的，可用定义法来求证；②利用复合函数的单调性求得单调区间．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝lga(1＋x)，g(x)＝lga(1－x)(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)<0成立的x的集合．
解 (1)因为f(x)＝lga(1＋x)的定义域为{x|x>－1}，
g(x)＝lga(1－x)的定义域为{x|x<1}，
所以h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩{x|x<1}
＝{x|－1函数h(x)为奇函数，理由如下：
因为h(x)＝f(x)－g(x)＝lga(1＋x)－lga(1－x)，
所以h(－x)＝lga(1－x)－lga(1＋x)
＝－[lga(1＋x)－lga(1－x)]＝－h(x)，
所以h(x)为奇函数．
(2)因为f(3)＝lga(1＋3)＝lga4＝2，所以a＝2.
所以h(x)＝lg2(1＋x)－lg2(1－x)，
所以h(x)<0等价于lg2(1＋x)所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x<1－x，,1＋x>0，,1－x>0，))解得－1所以使得h(x)<0成立的x的集合为{x|－11．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 B
解析因为lg(2x－4)≤1，所以0<2x－4≤10，
解得22．函数y＝ln x的单调递增区间是( )
A．[e，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 B
解析函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞)．
3．不等式(5＋x)<(1－x)的解集为________．
答案 {x|－2解析由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＋x>0，,1－x>0，,5＋x>1－x，))解得－24．比较大小：(1)lg23________lg2eq \r(3)；
(2)lg23________lg0.32.
答案 (1)> (2)>
解析 (1)因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，且3>eq \r(3)，所以lg23>lg2eq \r(3).
(2)因为lg23>lg21＝0，lg0.32lg0.32.
5．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥1，,2x，x<1))的值域为________．
答案 (－∞，2)
解析当x≥1时，x≤1＝0，
所以当x≥1时，f(x)≤0，
当x<1时，0<2x<21，即0因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．
1．知识清单：
(1)对数值的大小比较．
(2)利用单调性解对数不等式．
(3)求对数型复合函数的单调区间或值域．
(4)对数函数的综合应用．
2．方法归纳：换元法、分类讨论法．
3．常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域．
1．(多选)下列各式中正确的是( )
A．30.8>30.7 B．lg0.50.4>lg0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg 1.6>lg 1.4
答案 ABD
解析由指数函数的性质可知，
函数y＝0.75x为减函数，
又因为－0.1<0.1，
所以0.75－0.1>
2．不等式lg2(x－1)>－1的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(2,3))))) B．{x|x>2}
C．{x|x>1} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2)))))
答案 D
解析 ∵lg2(x－1)>－1＝lg2eq \f(1,2)，
∴x－1>eq \f(1,2)，即x>eq \f(3,2).
3．函数f(x)＝的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 D
解析 f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)．
4．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．c答案 D
解析由题意知，a＝lg45>1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝1，
c＝lg30.4<0，故c5．函数y＝(1－3x)的值域为( )
A．R B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 C
解析因为3x>0，所以－3x<0，所以1－3x<1.
设t＝1－3x,0又y＝t是关于t的减函数，
所以y＝t>1＝0.
6．若f(x)＝(a)x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析因为f(x)＝(a)x在R上为减函数，
所以0所以eq \f(1,2)7．若函数f(x)＝lgax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1)答案 {x|1解析 ∵f(2)>f(3)，∴f(x)＝lgax是减函数，
由f(2x－1)0，,2－x>0，,2x－1>2－x，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)，,x<2，,x>1，))∴18．设a>1，函数f(x)＝lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq \f(1,2)，则a＝________.
答案 4
解析因为a>1，
所以f(x)＝lgax在[a,2a]上单调递增，
所以lga(2a)－lgaa＝eq \f(1,2)，即lga2＝eq \f(1,2)，
所以＝2，a＝4.
9．已知f(x)＝lg4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域．
解 (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此lg4(－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上单调递增，
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝lg415，
因此f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域为[0，lg415]．
10．已知函数f(x)＝lg2(x＋1)－2.
(1)若f(x)>0，求x的取值范围；
(2)若x∈(－1,3]，求f(x)的值域．
解 (1)函数f(x)＝lg2(x＋1)－2，
∵f(x)>0，即lg2(x＋1)－2>0，
∴lg2(x＋1)>2，∴x＋1>4，∴x>3.
故x的取值范围是(3，＋∞)．
(2)∵x∈(－1,3]，
∴x＋1∈(0,4]，
∴lg2(x＋1)∈(－∞，2]，
∴lg2(x＋1)－2∈(－∞，0]，
故f(x)的值域为(－∞，0]．
11．函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案 A
解析 f(x)的定义域为R，
f(－x)＋f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)－x)))＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))
＝lgeq \f(1,x2＋1－x2)＝lg 1＝0，
所以f(x)为奇函数．
12．函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 D
解析由－3＋4x－x2>0，得x2－4x＋3<0，
得1设t＝－3＋4x－x2(1∵函数y＝t为减函数，
∴要求函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间，
即求函数t＝－3＋4x－x2,1∵函数t＝－3＋4x－x2,1∴函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间是(2,3)．
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))直线y＝a与函数f(x)的图像恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析函数f(x)的图像如图所示，
要使y＝a与f(x)的图像有两个不同交点，则014．函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.
答案 3
解析当a>1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则lga3＝1，∴a＝3.
当0则lga2＝1，∴a＝2(不合题意舍去)．
综上得a＝3.
15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝0，则不等式f(x)>0的解集为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)
解析 ∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图像关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
做出函数图像如图所示．
由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝0，得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
∴f(x)>0⇒x<－eq \f(1,3)或
x>eq \f(1,3)⇒x>2或0∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．
16．已知函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)．
(1)用定义证明f(x)在定义域上是增函数；
(2)求不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0的解集．
(1)证明由对数函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1＋x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<1，,x>－1，))
即－1设－1则f(x1)－f(x2)＝lg(1＋x1)－lg(1－x1)－lg(1＋x2)＋lg(1－x2)＝lg eq \f(1＋x11－x2,1＋x21－x1).
∵－1∴0<1＋x1<1＋x2，
0<1－x2<1－x1，
于是0则0∴lg eq \f(1＋x11－x2,1＋x21－x1)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)即函数f(x)是(－1,1)上的增函数．
(2)解 ∵f(x)的定义域为(－1,1)，f(－x)＝lg (1－x)－lg (1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
∴不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0可转化为f(2x－5)<－f(2－x)＝f(x－2)，
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<2x－5<1，,－1解得2∴不等式的解集为{x|2