高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像学案，共11页。学案主要包含了对数函数的概念及应用，与对数函数有关的定义域，对数函数的图像等内容，欢迎下载使用。

知识点一 对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
知识点二 对数函数的图像与性质
1．y＝lg2x2是对数函数．( × )
2．函数y＝lga(x－1)(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．( × )
3．对数函数的图像一定在y轴右侧．( √ )
4．当00且a≠1)；
③y＝；④y＝lg3eq \f(x,2)；
⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0且x≠1)；⑥y＝.
其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图像过点M(8,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
答案 (1)D (2)－1
解析 (1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．
(2)设f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，
由图像过点M(8,3)，得3＝lga8，解得a＝2.
所以对数函数的解析式为f(x)＝lg2x，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
跟踪训练1 (1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)lg(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x，则f(－8)＝________.
答案 (1)1 (2)－3
解析 (1)由a2－a＋1＝1，解得a＝1或a＝0，
又a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－8)＝－f(8)＝－lg28＝－3.
二、与对数函数有关的定义域
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；
(2)y＝eq \r(lg2－x)；
(3)y＝eq \f(lg2＋x－x2,|x|－x).
解 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3＋x>0，))解得－30，))解得x≤1.
故函数y＝eq \r(lg2－x)的定义域为(－∞，1]．
(3)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋x－x2>0，,|x|－x≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－20，b≠1，解得b＝eq \r(2).
8．若函数y＝(3x－a)的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))，则a＝________.
答案 2
解析 由y＝(3x－a)知，3x－a>0，即x>eq \f(a,3).
∴eq \f(a,3)＝eq \f(2,3)，即a＝2.
9．若函数y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图像过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解 (1)将(－1,0)代入y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)中，
有0＝lga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝lg2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为(－2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)写出函数f(x)的单调区间．
解 (1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
又f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称，如图所示．
(3)由图可得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．
11．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图像如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图像大致是( )
答案 D
解析 由f(x)的图像可知0