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人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第2课时学案及答案
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第2课时学案及答案，共12页。学案主要包含了函数的三种表示方法，求函数的解析式，函数图像的作法及应用等内容，欢迎下载使用。
第2课时 函数的表示方法
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数.2.掌握求函数解析式的常用方法.3.会作函数的图像并从图像上获取有用信息．
知识点 函数的表示方法
思考 函数三种表示法的优缺点各有哪些？
答案
1．任何一个函数都可以用解析法表示．( × )
2．任何一个函数都可以用图像法表示．( × )
3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( √ )
4．函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( × )
一、函数的三种表示方法
例1 某商场新进了10台4K高清电视，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解 (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图像法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下两点
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图像法要注意是否连续．
跟踪训练1 某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图像法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．
解 (1)该函数关系用列表法表示为：
x/道
0
1
2
3
4
5
y/分
50
40
30
20
10
0
(2)该函数关系用图像法表示，如图．
(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5})．
二、求函数的解析式
例2 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式；
(3)已知2f ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
∴解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
(2)方法一 (配凑法)
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (换元法)
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)由题意知，f(x)＋2f ＝x，令x＝，
得f ＋2f(x)＝.
于是得到关于f(x)与f 的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
反思感悟 求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式．
跟踪训练2 (1) 已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，求f(x)；
(2)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)．
解 (1)(待定系数法)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x＋2，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x＋2.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴解得∴f(x)＝x2＋x＋1.
(2)方法一 (配凑法)
∵f(＋4)＝()2＋8＝(＋4)2－16，
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．
方法二 (换元法)
令＋4＝t(t≥4)，
则x＝(t－4)2(t≥4)．
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)，
即f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．
三、函数图像的作法及应用
例3 作出下列函数的图像并求出其值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解 (1)当x∈[0,2]时，图像是直线y＝2x＋1的一部分，如图，观察图像可知，其值域为[1,5]．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，如图，观察图像可知其值域为(0,1]．
(3)当－2≤x≤2时，图像是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图，
由图可得函数的值域是[－1,8]．
反思感悟 函数y＝f(x)图像的画法
(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图像上的几个关键点，直接画出图像即可，有时需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图像．
跟踪训练3 作出下列函数的图像：
(1)y＝x＋2，|x|≤3；
(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.
解 (1)因为|x|≤3，所以函数的图像为线段，而不是直线，如图(1)．
(2)因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图像是五个孤立的点，如图(2)．
函数图像的应用
典例 (1)已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________________，值域为________．
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图像上所有点的横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像如图，
f(x)的图像与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1
(2)函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图像可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(3)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．
1.若f(x)＝3x－4，g(x－1)＝f(x)，则g(x)等于( )
A．3x－3 B．3x－5 C．3x－1 D．3x＋4
答案 C
解析 ∵g(x－1)＝3x－4＝3(x－1)－1，
∴g(x)＝3x－1.
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.
答案 1 1
解析 由给出函数关系的表格，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
3．已知函数f(x)是一次函数，且其图像过A(－2,0)，B(1,5)两点，则f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝x＋
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则解得k＝，b＝.所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋.
4.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0))＝________.
答案 0
解析 结合题图可得f(0)＝3，
则f(f(0))＝f(3)＝0.
5.函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是______________，值域是________．
答案 [－1,0)∪(0,2] [－1,1)
1．知识清单：
(1)函数的三种表示方法．
(2)函数解析式的求法．
(3)函数图像的画法和应用．
2．方法归纳：配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法．
3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．
1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x
0
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.[2,5] B．{2,3,4,5}
C．(0,20] D．N＋
答案 B
解析 由表格可知，y的值为2,3,4,5.故函数的值域为{2,3,4,5}．
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
3．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f 等于( )
A．1 B．3 C．15 D．30
答案 C
解析 方法一 令1－2x＝t(t≠1)，则x＝(t≠1)，
∴f(t)＝－1(t≠1)，∴f ＝16－1＝15.
方法二 令1－2x＝，得x＝，
∴f ＝＝15.
4．(多选)若一次函数的图像经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图像还可能经过的点的坐标为( )
A. B. C．(－1,2) D．(－2,1)
答案 AC
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图像经过点A(1,6)和B(2,8)，得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，故A，C选项的坐标符合此函数的解析式．
5．当x为任意实数时，有f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，则f(x)为( )
A．2x＋1 B．2x＋2
C．－2x＋1 D．－2x＋2
答案 D
解析 ∵x∈R，f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，①
∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋6，②
由②×2－①，得3f(x)＝－6x＋6，
∴f(x)＝－2x＋2.
6.已知函数f(x)的图像如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________．
答案 [－3,3] [－2,2]
解析 结合图像，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．
7. 已知函数f(x)＝x－，且此函数图像过点(5,4)，则实数m的值为________．
答案 5
解析 将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
8．已知f(x)是一次函数，若f(0)＝1且f(2x)＝f(x)＋x，则f(x)的表达式为________________．
答案 f(x)＝x＋1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵f(0)＝1，∴b＝1.
∴f(2x)＝2kx＋1.又f(2x)＝f(x)＋x，∴2kx＋1＝kx＋x＋1，解得k＝1，∴f(x)＝x＋1.
9. 已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
10．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
描点，连线，得函数图像如图：
(1)因为f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)
11．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )
答案 C
解析 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c且a＋b＋c＝0，那么它的图像是图中的( )
答案 A
解析 ∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，且f(1)＝0.
13．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
答案 2
解析 由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系数相等得解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2.
14．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为________________________，若悬挂弹簧的总长变为15 cm，则悬挂的物体的质量是________kg.
答案 y＝x＋12(x≥0) 6
解析 设所求函数解析式为y＝kx＋12(k≠0)，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝，所以所求的函数解析式为y＝x＋12(x≥0)．当y＝15时，可求得x＝6.
15．(多选)一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下4个论断，其中正确的是( )
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水．
答案 AC
解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A 正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错，C正确；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故D错．
16．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图像与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①
又因为|x1－x2|＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
第2课时 函数的表示方法
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数.2.掌握求函数解析式的常用方法.3.会作函数的图像并从图像上获取有用信息．
知识点 函数的表示方法
思考 函数三种表示法的优缺点各有哪些？
答案
1．任何一个函数都可以用解析法表示．( × )
2．任何一个函数都可以用图像法表示．( × )
3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( √ )
4．函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( × )
一、函数的三种表示方法
例1 某商场新进了10台4K高清电视，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解 (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图像法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下两点
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图像法要注意是否连续．
跟踪训练1 某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图像法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．
解 (1)该函数关系用列表法表示为：
x/道
0
1
2
3
4
5
y/分
50
40
30
20
10
0
(2)该函数关系用图像法表示，如图．
(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5})．
二、求函数的解析式
例2 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式；
(3)已知2f ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
∴解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
(2)方法一 (配凑法)
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (换元法)
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)由题意知，f(x)＋2f ＝x，令x＝，
得f ＋2f(x)＝.
于是得到关于f(x)与f 的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
反思感悟 求函数解析式的常用方法
(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式．
跟踪训练2 (1) 已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，求f(x)；
(2)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)．
解 (1)(待定系数法)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x＋2，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x＋2.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴解得∴f(x)＝x2＋x＋1.
(2)方法一 (配凑法)
∵f(＋4)＝()2＋8＝(＋4)2－16，
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．
方法二 (换元法)
令＋4＝t(t≥4)，
则x＝(t－4)2(t≥4)．
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)，
即f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．
三、函数图像的作法及应用
例3 作出下列函数的图像并求出其值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解 (1)当x∈[0,2]时，图像是直线y＝2x＋1的一部分，如图，观察图像可知，其值域为[1,5]．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，如图，观察图像可知其值域为(0,1]．
(3)当－2≤x≤2时，图像是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图，
由图可得函数的值域是[－1,8]．
反思感悟 函数y＝f(x)图像的画法
(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图像上的几个关键点，直接画出图像即可，有时需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图像．
跟踪训练3 作出下列函数的图像：
(1)y＝x＋2，|x|≤3；
(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.
解 (1)因为|x|≤3，所以函数的图像为线段，而不是直线，如图(1)．
(2)因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图像是五个孤立的点，如图(2)．
函数图像的应用
典例 (1)已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________________，值域为________．
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图像上所有点的横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像如图，
f(x)的图像与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1
(2)函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图像可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(3)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．
1.若f(x)＝3x－4，g(x－1)＝f(x)，则g(x)等于( )
A．3x－3 B．3x－5 C．3x－1 D．3x＋4
答案 C
解析 ∵g(x－1)＝3x－4＝3(x－1)－1，
∴g(x)＝3x－1.
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.
答案 1 1
解析 由给出函数关系的表格，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
3．已知函数f(x)是一次函数，且其图像过A(－2,0)，B(1,5)两点，则f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝x＋
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则解得k＝，b＝.所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋.
4.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0))＝________.
答案 0
解析 结合题图可得f(0)＝3，
则f(f(0))＝f(3)＝0.
5.函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是______________，值域是________．
答案 [－1,0)∪(0,2] [－1,1)
1．知识清单：
(1)函数的三种表示方法．
(2)函数解析式的求法．
(3)函数图像的画法和应用．
2．方法归纳：配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法．
3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．
1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x
0
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.[2,5] B．{2,3,4,5}
C．(0,20] D．N＋
答案 B
解析 由表格可知，y的值为2,3,4,5.故函数的值域为{2,3,4,5}．
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
3．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f 等于( )
A．1 B．3 C．15 D．30
答案 C
解析 方法一 令1－2x＝t(t≠1)，则x＝(t≠1)，
∴f(t)＝－1(t≠1)，∴f ＝16－1＝15.
方法二 令1－2x＝，得x＝，
∴f ＝＝15.
4．(多选)若一次函数的图像经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图像还可能经过的点的坐标为( )
A. B. C．(－1,2) D．(－2,1)
答案 AC
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图像经过点A(1,6)和B(2,8)，得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，故A，C选项的坐标符合此函数的解析式．
5．当x为任意实数时，有f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，则f(x)为( )
A．2x＋1 B．2x＋2
C．－2x＋1 D．－2x＋2
答案 D
解析 ∵x∈R，f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，①
∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋6，②
由②×2－①，得3f(x)＝－6x＋6，
∴f(x)＝－2x＋2.
6.已知函数f(x)的图像如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________．
答案 [－3,3] [－2,2]
解析 结合图像，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．
7. 已知函数f(x)＝x－，且此函数图像过点(5,4)，则实数m的值为________．
答案 5
解析 将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
8．已知f(x)是一次函数，若f(0)＝1且f(2x)＝f(x)＋x，则f(x)的表达式为________________．
答案 f(x)＝x＋1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵f(0)＝1，∴b＝1.
∴f(2x)＝2kx＋1.又f(2x)＝f(x)＋x，∴2kx＋1＝kx＋x＋1，解得k＝1，∴f(x)＝x＋1.
9. 已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
10．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
描点，连线，得函数图像如图：
(1)因为f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)
11．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )
答案 C
解析 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速行驶，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c且a＋b＋c＝0，那么它的图像是图中的( )
答案 A
解析 ∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，且f(1)＝0.
13．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
答案 2
解析 由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系数相等得解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2.
14．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为________________________，若悬挂弹簧的总长变为15 cm，则悬挂的物体的质量是________kg.
答案 y＝x＋12(x≥0) 6
解析 设所求函数解析式为y＝kx＋12(k≠0)，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝，所以所求的函数解析式为y＝x＋12(x≥0)．当y＝15时，可求得x＝6.
15．(多选)一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下4个论断，其中正确的是( )
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水．
答案 AC
解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A 正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错，C正确；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故D错．
16．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图像与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①
又因为|x1－x2|＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
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