还剩9页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性第2课时导学案
展开
这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性第2课时导学案，共12页。
第2课时 函数奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式．
知识点 奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
1．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．增减性不确定
答案 B
解析 由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图像(图略)知，在区间(2,5)上为减函数．
2．若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1)．(填“>”“＝”或“<”)
答案 >
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在R上单调递减，∴f(－1)>f(1)．
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3,7]上是________函数．
答案 减
解析 ∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，
∴f(x)在[3,7]上是减函数．
4．函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝x，则当x<0时，f(x)＝________.
答案 －x
解析 方法一 令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0)．
方法二 利用图像(图略)可得当x<0时，f(x)＝－x.
一、利用奇偶性求解析式
命题角度1 求分段函数的解析式
例1 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解 当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.
故f(x)＝
延伸探究
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．
解 当x＜0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
反思感悟 利用奇偶性求函数解析式的三个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
跟踪训练1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
又f(0)＝0.
所以f(x)＝
命题角度2 利用解方程组求解析式
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
在f(x)＋g(x)＝2x＋x2中，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
反思感悟 利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x)．
跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
在f(x)＋g(x)＝中，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
二、函数的奇偶性与单调性的综合问题
命题角度1 比较大小
例3 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)
解析 因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练3 (多选)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－4)f(3)
C．f(－3)f(1)
答案 ABD
解析 因为函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，
所以f(－4)f(3)，f(0)>f(1)．
命题角度2 解不等式
例4 已知函数y＝f(x)在[－1,1]上既是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
解 由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)
∴解得
∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0,1)．
反思感悟 要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
又f(x)在[0,2]上单调递减，
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
函数的对称性
典例 证明：若函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称，则f(2a－x)＝2b－f(x)，反之亦成立．
证明 设函数y＝f(x)的图像上任意一点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称的点为P′(2a－x,2b－f(x))，
当且仅当P′(2a－x,2b－f(x))在函数y＝f(x)的图像上时，
有f(2a－x)＝2b－f(x)．
若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，
则点P′(2a－x,2b－f(x))在函数f(x)的图像上．
∵点P′(2a－x,2b－f(x))与点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称，
∴函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称．
[素养提升] (1)函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称，则f(2a－x)＝2b－f(x)，即f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，反之亦成立，当a＝b＝0时，y＝f(x)就是奇函数．同理可证：函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称，则f(2a－x)＝f(x)，即f(a－x)＝f(a＋x)，反之亦成立，当a＝0时，y＝f(x)就是偶函数．
(2)准确理解函数的对称性，体现了数学中逻辑推理的核心素养．
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x2
C．y＝－ D．y＝3x
答案 D
解析 A中，由函数y＝x＋1的图像知该函数不是奇函数．B中，函数y＝－x2是偶函数．C中，函数y＝－在其定义域内没有单调性．D中，函数y＝3x是奇函数，且在其定义域内是增函数，符合题意．
2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10)
B．f(1)
D．f(1)和f(－10)关系不确定
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
3．设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则下列一定是F(x)的单调递减区间的是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上，F(x)一定单调递减．
4．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
答案 －x＋1
解析 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，
解得－2
1．知识清单：
(1)利用奇偶性求解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
答案 AB
解析 对于函数y＝|x|＋1，
f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增；
函数y＝x2是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；
y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；
y＝－不是偶函数．
2．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，
即该函数f(x)＝－2x2＋1，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
4.一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是( )
A．这个函数仅有一个单调递增区间
B．这个函数有两个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
答案 C
解析 根据偶函数在[0,7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图像，如图所示，
可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
C. D.
答案 A
解析 由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒
答案 <
解析 由f(a)＋f(b)>0得f(a)>－f(b)，
因为f(x)为奇函数，
则f(－x)＝－f(x)．
所以f(a)>f(－b)，又f(x)为减函数，
所以a<－b，即a＋b<0.
7．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝______.
答案 2x＋3
解析 设x<0，则－x>0，所以g(－x)＝2×(－x)－3＝－2x－3.
又原函数为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是______________．
答案 f(－2)
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图像开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)
解 设x<0，则－x>0.
∵当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，
∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.
又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝x3＋x－1.
故f(x)＝
10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
解 F(x)在(－∞，0)上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，
所以f(－x2)
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.
于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．
11．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)．若f(1)＝2，则f(0)＋f(1)＋f(3)等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
又∵f(2－x)＝f(2＋x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴f(3)＝f(1)＝2，
∴f(0)＋f(1)＋f(3)＝4.
12．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)
解析 ∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴f ＝f ，f ＝f ，
又f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f
答案 －2x2＋4
解析 因为f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，
所以图像关于y轴对称，
所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0，
又因为值域为(－∞，4]，所以a≠0，所以f(x)＝－2x2＋2a2，所以2a2＝4，
所以f(x)＝－2x2＋4.
14．若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＝________， g(x)＝________.
答案 3x －x2－2
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，①
∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，
又函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，
∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2.②
联立①②可得，f(x)＝3x，g(x)＝－x2－2.
15．(多选)函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，那么( )
A．f(2－x)＝f(x)
B．f(1－x)＝f(1＋x)
C．函数y＝f(x＋1)是偶函数
D．函数y＝f(x－1)是偶函数
答案 ABC
解析 若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图像关于x＝对称．
对于A 选项，f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图像关于x＝1对称，符合题意；
对于B选项，f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)的图像关于x＝1对称，符合题意；
对于C选项，f(x＋1)的对称轴为y轴，f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到f(x)的图像，所以f(x)的图像关于x＝1对称，符合题意；
对于D选项，f(x－1)的对称轴为y轴，f(x－1)的图像向左平移一个单位长度得到f(x)的图像，所以f(x)的图像关于x＝－1对称，不符合题意．
16．已知f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．
(1)证明 由f(x)的定义域为R，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即0＝f(x)＋f(－x)，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)证明 任取x1，x2∈R，且x1
＝－[f(x2)＋f(－x1)]＝－f(x2－x1)．
因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0.
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在R上为减函数．
(3)解 因为f(－1)＝2，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.
因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，
所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.
因为f(x)在[－2,4]上为减函数，
所以f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8.
第2课时 函数奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式．
知识点 奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
1．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．增减性不确定
答案 B
解析 由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图像(图略)知，在区间(2,5)上为减函数．
2．若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1)．(填“>”“＝”或“<”)
答案 >
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在R上单调递减，∴f(－1)>f(1)．
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3,7]上是________函数．
答案 减
解析 ∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，
∴f(x)在[3,7]上是减函数．
4．函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝x，则当x<0时，f(x)＝________.
答案 －x
解析 方法一 令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0)．
方法二 利用图像(图略)可得当x<0时，f(x)＝－x.
一、利用奇偶性求解析式
命题角度1 求分段函数的解析式
例1 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解 当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.
故f(x)＝
延伸探究
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．
解 当x＜0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
反思感悟 利用奇偶性求函数解析式的三个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
跟踪训练1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
又f(0)＝0.
所以f(x)＝
命题角度2 利用解方程组求解析式
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
在f(x)＋g(x)＝2x＋x2中，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
反思感悟 利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从而解出f(x)和g(x)．
跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
在f(x)＋g(x)＝中，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
二、函数的奇偶性与单调性的综合问题
命题角度1 比较大小
例3 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)
解析 因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练3 (多选)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－4)
C．f(－3)
答案 ABD
解析 因为函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，
所以f(－4)
命题角度2 解不等式
例4 已知函数y＝f(x)在[－1,1]上既是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
解 由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)
∴解得
∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0,1)．
反思感悟 要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
又f(x)在[0,2]上单调递减，
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
函数的对称性
典例 证明：若函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称，则f(2a－x)＝2b－f(x)，反之亦成立．
证明 设函数y＝f(x)的图像上任意一点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称的点为P′(2a－x,2b－f(x))，
当且仅当P′(2a－x,2b－f(x))在函数y＝f(x)的图像上时，
有f(2a－x)＝2b－f(x)．
若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，
则点P′(2a－x,2b－f(x))在函数f(x)的图像上．
∵点P′(2a－x,2b－f(x))与点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称，
∴函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称．
[素养提升] (1)函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称，则f(2a－x)＝2b－f(x)，即f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，反之亦成立，当a＝b＝0时，y＝f(x)就是奇函数．同理可证：函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称，则f(2a－x)＝f(x)，即f(a－x)＝f(a＋x)，反之亦成立，当a＝0时，y＝f(x)就是偶函数．
(2)准确理解函数的对称性，体现了数学中逻辑推理的核心素养．
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x2
C．y＝－ D．y＝3x
答案 D
解析 A中，由函数y＝x＋1的图像知该函数不是奇函数．B中，函数y＝－x2是偶函数．C中，函数y＝－在其定义域内没有单调性．D中，函数y＝3x是奇函数，且在其定义域内是增函数，符合题意．
2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10)
B．f(1)
D．f(1)和f(－10)关系不确定
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
3．设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则下列一定是F(x)的单调递减区间的是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上，F(x)一定单调递减．
4．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
答案 －x＋1
解析 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，
解得－2
1．知识清单：
(1)利用奇偶性求解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
答案 AB
解析 对于函数y＝|x|＋1，
f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增；
函数y＝x2是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；
y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；
y＝－不是偶函数．
2．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，
即该函数f(x)＝－2x2＋1，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
4.一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是( )
A．这个函数仅有一个单调递增区间
B．这个函数有两个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
答案 C
解析 根据偶函数在[0,7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图像，如图所示，
可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
C. D.
答案 A
解析 由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒
答案 <
解析 由f(a)＋f(b)>0得f(a)>－f(b)，
因为f(x)为奇函数，
则f(－x)＝－f(x)．
所以f(a)>f(－b)，又f(x)为减函数，
所以a<－b，即a＋b<0.
7．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝______.
答案 2x＋3
解析 设x<0，则－x>0，所以g(－x)＝2×(－x)－3＝－2x－3.
又原函数为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是______________．
答案 f(－2)
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图像开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)
解 设x<0，则－x>0.
∵当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，
∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.
又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝x3＋x－1.
故f(x)＝
10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
解 F(x)在(－∞，0)上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，
所以f(－x2)
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.
于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．
11．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)．若f(1)＝2，则f(0)＋f(1)＋f(3)等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
又∵f(2－x)＝f(2＋x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴f(3)＝f(1)＝2，
∴f(0)＋f(1)＋f(3)＝4.
12．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)
解析 ∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴f ＝f ，f ＝f ，
又f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f
答案 －2x2＋4
解析 因为f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，
所以图像关于y轴对称，
所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0，
又因为值域为(－∞，4]，所以a≠0，所以f(x)＝－2x2＋2a2，所以2a2＝4，
所以f(x)＝－2x2＋4.
14．若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＝________， g(x)＝________.
答案 3x －x2－2
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，①
∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，
又函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，
∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2.②
联立①②可得，f(x)＝3x，g(x)＝－x2－2.
15．(多选)函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，那么( )
A．f(2－x)＝f(x)
B．f(1－x)＝f(1＋x)
C．函数y＝f(x＋1)是偶函数
D．函数y＝f(x－1)是偶函数
答案 ABC
解析 若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图像关于x＝对称．
对于A 选项，f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图像关于x＝1对称，符合题意；
对于B选项，f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)的图像关于x＝1对称，符合题意；
对于C选项，f(x＋1)的对称轴为y轴，f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到f(x)的图像，所以f(x)的图像关于x＝1对称，符合题意；
对于D选项，f(x－1)的对称轴为y轴，f(x－1)的图像向左平移一个单位长度得到f(x)的图像，所以f(x)的图像关于x＝－1对称，不符合题意．
16．已知f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．
(1)证明 由f(x)的定义域为R，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即0＝f(x)＋f(－x)，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)证明 任取x1，x2∈R，且x1
＝－[f(x2)＋f(－x1)]＝－f(x2－x1)．
因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0.
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在R上为减函数．
(3)解 因为f(－1)＝2，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.
因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，
所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.
因为f(x)在[－2,4]上为减函数，
所以f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8.
相关学案
人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性优秀导学案： 这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性优秀导学案，共8页。
高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时学案： 这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时学案，共13页。学案主要包含了函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性求参数等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性导学案： 这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性导学案，共11页。
