数学必修1第三章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试导学案

章末复习课

一、函数的定义域

1．函数的定义域是指函数y＝f(x)中自变量x的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．求函数的定义域主要遵循一些原则，然后根据这些原则列方程(组)解答就可以，实际问题确定的函数的定义域要考虑让实际问题有意义．

2．考查函数的定义域的问题，主要是考查逻辑思维能力、综合分析能力和计算能力．

例1　(1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)

A.   B.

C.   D.∪

答案　D

解析　由题意得，

解得x<1且x≠.

(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(　　)

A.   B．[－1,4]

C．[－5,5]   D．[－3,7]

答案　A

解析　设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，

所以y＝f(u)的定义域为[－1,4]．再由－1≤2x－1≤4，

解得0≤x≤，即函数y＝f(2x－1)的定义域是.

反思感悟　求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

(3)复合函数问题：

①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；

②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

跟踪训练1　(1)函数f(x)＝＋的定义域是(　　)

A．[－1，＋∞)   B．(－∞，－1]

C．R   D．[－1,1)∪(1，＋∞)

答案　D

解析　由解得

故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，故选D.

(2)设函数f(x)的定义域为[1,5]，则函数f(2x－3)的定义域为(　　)

A．[2,4]  B．[3,11]  C．[3,7]  D．[1,5]

答案　A

解析　由题意得，1≤2x－3≤5，解得2≤x≤4，所以函数f(2x－3)的定义域是[2,4]．

二、 函数的解析式

1．函数的解析式实际上就是函数的对应法则的数学表示，求函数的解析式一般采用的是换元法、拼凑法、待定系数法、解方程组法等，特别在分段函数中还要结合函数的奇偶性．

2．求函数的解析式往往考查的是分析能力和逻辑思维能力，以提高逻辑思维和数学运算的素养为主要目的．

例2　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝

解析　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.

∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，

∴f(x)＝

(2)已知f ＝＋，则f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)

解析　令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f ＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.

所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，

x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．

反思感悟　求函数解析式的题型与相应的解法

(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．

(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．

(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f ，使用解方程组法．

(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．

跟踪训练2　(1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为________．

答案　f(x)＝x2＋1

解析　设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得

解得故f(x)＝x2＋1.

(2)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝2x＋

解析　令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，

原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)．①

以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)．②

由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋，

故f(x)＝2x＋.

三、函数的单调性和奇偶性

1．函数的单调性和奇偶性是函数的两种非常重要的性质，既能作为小题考查，也能作为工具进行运用，这部分的主要结论有

(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数．

(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．

(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于y轴对称．

(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图像必过原点即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)＝0.

(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．

2．利用奇偶函数和单调性的定义和一些重要的结论，进行分析问题，提高逻辑思维和数学运算的素养．

例3　已知函数y＝f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数且f(x)＜0.求证：F(x)＝在区间(－∞，0)上是增函数．

证明　设任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则－x1>－x2>0，而函数f(x)为奇函数，则f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，从而f(－x1)＜f(－x2)，即－f(x1)＜－f(x2)，于是f(x1)－f(x2)>0.

由已知f(x)在区间(0，＋∞)上有f(x)＜0，得f(－x1)＜0，f(－x2)＜0，

所以f(x1)·f(x2)＝[－f(－x1)]·[－f(－x2)]>0.

于是F(x1)－F(x2)＝－＝＝－＜0，所以函数F(x)＝在区间(－∞，0)上是增函数．

反思感悟　函数的性质主要是单调性和奇偶性

(1)注意函数单调性的定义及其等价形式，如函数在区间D上单调递增：∀x1，x2∈D，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，>0等．

(2)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a)，f(－a)的转化，注意其图像的对称性的应用．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.

(1)求实数m和n的值；

(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．

解　(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴＝－＝.

比较得n＝－n，n＝0.

又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.

因此，实数m和n的值分别是2和0.

(2)由(1)知f(x)＝＝＋.

任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1≠x2，

则＝＝

＝·.

∵x1，x2∈[－2，－1]且x1≠x2，

∴x1x2>1，x1x2－1>0，∴>0，

∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，

∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.

四、函数图像的画法及应用

1．利用函数的图像可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数等．

2．掌握简单的基本函数图像，提升直观想象素养．

例4　已知奇函数f(x)＝

(1)求实数m的值；

(2)画出函数的图像；

(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

解　(1)当x<0时，－x>0，

f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又因为f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则m＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝

函数f(x)的图像如图所示．

(3)由图像可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，

只需－1<|a|－2≤1，即1<|a|≤3，

解得－3≤a<－1或1<a≤3.

所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．

反思感悟　画函数图像的主要方法是描点法，要先研究函数性质再画图，一旦有了函数图像，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．

跟踪训练4　已知函数f(x)＝方程 f 2(x)－bf(x)＝0，b∈(0,1)，则方程的根的个数是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　D

解析　因为f 2(x)－bf(x)＝0，

所以f(x)＝0或f(x)＝b，

作函数f(x)＝的图像如图，

结合图像可知，

f(x)＝0有2个不同的根，f(x)＝b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5.

1．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增

B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增

D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减

答案　A

解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

且f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

又因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，

所以y＝－在(0，＋∞)上也单调递增，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

2．(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]∪[3，＋∞)   B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞)   D．[－1,0]∪[1,3]

答案　D

解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，

则f(0)＝0.

又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，

画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，

则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．

当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，

得－1≤x≤0.

当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，

得1≤x≤3.

故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．

3．(2019·江苏)函数y＝的定义域是________．

答案　[－1,7]

解析　要使函数有意义，则7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1,7]．

4．(2016·江苏)函数y＝的定义域是________．

答案　[－3,1]

解析　要使原函数有意义，需且仅需3－2x－x2≥0.解得－3≤x≤1.故函数定义域为[－3,1]．

5．(2018·浙江)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．

答案　(1,4)　(1,3]∪(4，＋∞)

解析　当λ＝2时，f(x)＝

其图像如图(1)．

由图知f(x)＜0的解集为(1,4)．

f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．

在同一平面直角坐标系中画出y1＝x－4与y2＝x2－4x＋3的图像，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．