高中数学人教版新课标B必修1本节综合第1课时导学案

这是一份高中数学人教版新课标B必修1本节综合第1课时导学案，共10页。学案主要包含了函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性求参数等内容，欢迎下载使用。

3.1.3　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．

知识点　函数奇偶性的概念及图像特点
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图像特点
关于y轴对称
关于原点对称

思考　奇(偶)函数的定义域有何特征？
答案　奇(偶)函数的定义要求“对定义域D内任意一个x，都有－x∈D”，故奇(偶)函数的定义域必须关于原点对称．

1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　√　)
2．函数f(x)＝x2＋|x|的图像关于原点对称．(　×　)
3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(　×　)
4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(　×　)

一、函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
反思感悟　判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法

(2)图像法

注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．
跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解　(1)因为函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝是非奇非偶函数．
(2)因为f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
又f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，
综上可知，f(x)是偶函数．
二、奇、偶函数图像的特征及应用
例2　定义在R上的奇函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像；
(2)解不等式xf(x)>0.
解　(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像如图．

(2)xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号．结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
延伸探究　
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解　(1)f(x)的图像如图所示．

(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思感悟　可以用奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．
跟踪训练2　设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为(　　)

A．(2,5) B．(－5，－2)∪(2,5)
C．(－2,0) D．(－2,0)∪(2,5)
答案　D
解析　因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图像，知它在[－5,0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．

三、利用函数奇偶性求参数
例3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝______，b____；
(2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
答案　(1)　0　(2)－1
解析　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，得b＝0.
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
反思感悟　利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
跟踪训练3　若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
答案　0
解析　方法一　显然x∈R，
由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，
即|x＋a|＝|x－a|.
又x∈R，所以a＝0.
方法二　由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.

1. (多选)给定四个函数，其中是奇函数的有(　　)
A．y＝x3 B．y＝(x>0)
C．y＝x3＋1 D．y＝
答案　AD
解析　对于A，函数的定义域为R，f(x)＝x3，f(－x)＝(－x)3＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；对于B，函数的定义域不关于原点对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；对于D，函数的定义域为(－∞，0)∪
(0，＋∞)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数．
2．函数f(x)＝－x的图像关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案　C
解析　∵f(x)＝－x是奇函数，
∴f(x)＝－x的图像关于原点对称．
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(1)＝－f(－1)＝－.

4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________ (填序号) .


答案　②④　①③
解析　①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．
5．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________.
答案　－2　0
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.

1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图像特征．
2．方法归纳：特值法、数形结合法．
3．常见误区：忽略奇函数、偶函数的定义域关于原点对称．


1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2
C．y＝ D．y＝x|x|
答案　CD
解析　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；
又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.
2．(多选)若函数f(x)为定义在R上的奇函数，下列结论正确的是(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(－x)f(x)≤0 D.＝－1
答案　ABC
解析　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，
f(－x)f(x)＝－[f(x)]2≤0，∴A，B，C正确．
而D不一定成立，如f(x)＝x，
则＝＝－1(x≠0)，
即当x＝0时，无意义．
3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案　A
解析　因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．
4．已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　B
解析　由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，
解得g(1)＝3.
5．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f 的值为(　　)
A．1 B．3 C．－2 D．－3
答案　A
解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f(f(－2))＝f(0)＝1.
6.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
答案　0
解析　由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，
得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则f 的值为_____．
答案　
解析　因为f(x)为奇函数，
所以解得
所以f(x)＝x3＋2x，所以f ＝＋1＝.
8．已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
答案　7
解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.
9．判断函数f(x)＝的奇偶性．
解　由得
故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0，
所以f(x)＝＝，
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
10．设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．
解　由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴＋＝0，∴c＝0.
又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得－1 当a＝0时，b＝，当a＝1时，b＝1，
∵b∈Z，
∴a＝1，b＝1，c＝0.

11．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)
A．4 B．2 C．1 D．0
答案　D
解析　因为f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.
12．(多选)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是偶函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
答案　AB
解析　由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数，f(x)－|g(x)|是偶函数．
13．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 020x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为_______．
答案　0
解析　因为奇函数的图像关于原点对称，
所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，
所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
14．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
答案　1
解析　在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
∴f(1)＋g(1)＝1.




15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
答案　
解析　根据题意，f(x)＝＝1＋，
而h(x)＝是奇函数，
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]
＝2－f(a)＝2－＝.
16．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明　(1)令x1＝0，x2＝x，得
f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)．①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)．②
由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，
即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．