人教版新课标B必修1第三章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试导学案

再练一课(范围：§3.1)

1．以下四个图形中，可以作为函数y＝f(x)的图像的是(　　)

答案　D

解析　根据函数的定义知，对于定义域内的任一变量，都有唯一的函数值和其对应，显然选项A，B，C中均有一个变量对应多个值，即错误，故选D.

2．设函数f(x)＝则f(6)等于(　　)

A．－2  B．－1  C．0  D．1

答案　B

解析　由题意得f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0－20＝－1.

3．函数y＝的定义域为(　　)

A．(－2，－1)∪(1,2)   B．(－，－1)∪(1，)

C.   D．[－，－1)∪(1，]

答案　C

解析　要使得函数有意义，则1－2x2≥0，

解得x∈.

4．已知f ＝，则f(x)的解析式为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　令t＝，得x＝，

∴f(t)＝＝，

∴f(x)＝.

5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)   B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)   D．(－1,0)∪(0,1)

答案　D

解析　由f(x)为奇函数可知，

＝<0.

而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.

∴当x>0时，f(x)<0＝f(1)；

当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴奇函数f(x)在(－∞，0)上也为增函数．

∴0<x<1，或－1<x<0.

6．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.

答案　2x－

解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，

依题设，得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，

∴∴

则f(x)＝2x－.

7．已知f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.

答案　－

解析　当x≤0时，由x2＋4＝10，得

x＝－，或x＝(舍去)，

当x>0时，由－3x＝10，得x＝－(舍去)．故x＝－.

8．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．

答案　－3或

解析　由题意知，f(x)的对称轴为直线x＝－1.

当a>0时，f(x)的最大值为f(2)＝4，解得a＝；

当a<0时，f(x)的最大值为f(－1)＝4，解得a＝－3.

综上，a＝或a＝－3.

9．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，求f(x)的解析式．

解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，

∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.

∴解得∴f(x)＝x2－x＋3.

10．已知函数f(x)是定义在R上的增函数．

(1)若a∈R，试比较f(a2)与f(a－1)的大小，并说明理由；

(2)若对任意的x∈R，不等式f(ax2)<f(ax＋1)恒成立．求实数a的取值范围．

解　(1)因为a2－(a－1)＝2＋>0，

所以a2>a－1，又因为f(x)是定义在R上的增函数，所以f(a2)>f(a－1)．

(2)f(ax2)<f(ax＋1)⇒ax2<ax＋1⇒ax2－ax－1<0恒成立，

所以当a＝0时，－1<0恒成立，符合题意，

当a≠0时，⇒－4<a<0，

综上，实数a的取值范围为(－4,0]．

11．(多选)关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)

A．f(x)有且仅有一个实数根

B．f(x)的定义域为{x|x≠1}

C．f(x)在(1，＋∞)上单调递增

D．f(x)的图像关于点(1,2)对称

答案　ABD

解析　函数f(x)＝的定义域为{x|x≠1}，所以B选项正确．

f(x)＝＝＝2＋，所以f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均单调递减，所以C选项错误．

令f(x)＝＝0，解得x＝－，所以f(x)有且仅有一个实数根，A选项正确．

设点(x，y)是函数f(x)图像上的任意一点，则y＝，且(x，y)关于(1,2)的对称点为(2－x,

4－y)，

而f(2－x)＝＝＝，

且4－y＝4－＝－＝，

所以点(2－x,4－y)在函数f(x)的图像上，所以D选项正确．

12．(多选)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(－x)＝f(x)；②∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是(　　)

A．f(3)>f(－4)

B．若f(m－1)<f(2)，则m∈(－∞，3)

C．若>0，则x∈(－1,0)∪(1，＋∞)

D．∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M

答案　CD

解析　由条件①得f(x)是偶函数，由条件②得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(3)<f(4)＝f(－4)，故A错；

若f(m－1)<f(2)，则|m－1|<2，得－1<m<3，故B错；

若>0，则或因为f(－1)＝f(1)＝0，所以x>1或－1<x<0，故C正确；

因为定义在R上的偶函数f(x)的图像是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)min＝f(0)，所以对∀x∈R，只需M≤f(0)即可使得f(x)≥M，故D正确．

13．已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则关于m的不等式f(1－m)＋f(1－m2)>0的解集是________．

答案　 (1，]

解析　当x<0时，f(x)＝x2－x，则f(x)在[－1,0)上单调递减，

又f(x)在[－1,1]上为奇函数，

∴f(x)在[－1,1]上单调递减，

∴由f(1－m)＋f(1－m2)>0得，f(1－m)>f(m2－1)，

∴

解得1<m≤，

∴原不等式的解集为(1，]．

14．已知函数f(x)＝是奇函数，且在上单调递减，则实数a＝________；实数m的取值范围用区间表示为________．

答案　1　

解析　因为函数f(x)＝是奇函数，

所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－a＋(－1)＋1＝0，

解得a＝1；

因此f(x)＝

根据二次函数的性质可得，当x>0时，函数f(x)＝x2－x在区间上单调递减，在区间上单调递增；

又因为f(0)＝0，所以由奇函数的性质可得，函数f(x)在区间上单调递减；

因为函数f(x)在上单调递减，

所以只需⊆ ，

即解得－≤m≤0.

15．对于函数y＝f(x)，若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数y＝f(x)在定义域D上封闭，如果函数f(x)＝－在R上封闭，则b－a＝________.

答案　6

解析　由于f(－x)＝－＝＝－f(x)，则函数f(x)在R上为奇函数，

设0≤x1<x2，则f(x)＝－，

f(x1)－f(x2)＝－＋＝>0，即f(x1)>f(x2)，

结合奇函数的性质得，函数f(x)在R上为减函数，并且f(0)＝0，

由题意可知a<0，b>0，

由于函数f(x)在R上封闭，

故有⇒ 解得

所以b－a＝6.

16．已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，当且仅当0<x<1时，f(x)<0，且对任意x，y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f ，试证明：

(1)f(x)为奇函数；

(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．

证明　(1)由f(x)＋f(y)＝f ，

可令x＝y＝0，得f(0)＝0，

令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f ＝f(0)＝0.

∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．

(2)先证明f(x)在(0,1)上单调递减．

令0<x1<x2<1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f ，

∵0<x1<x2<1，∴x2－x1>0,1－x1x2>0，

∴>0，

又(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0，

∴x2－x1<1－x2x1，

∴0<<1，

由题意知f <0, 即f(x2)<f(x1)．

∴f(x)在(0,1)上为减函数，又f(x)为奇函数，且f(0)＝0.

∴f(x)在(－1,1)上为减函数．