2022年高中数学新教材人教B版必修第一册学案综合检测试卷

这是一份2021学年全册综合学案，共8页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

综合检测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知全集U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{0,2}，则集合A的真子集共有(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案　A
解析　全集U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{0,2}，则A＝{1,3}．
故集合A的真子集共有22－1＝3个．
2．命题“∃x>1，x＋x2≥2 ”的否定形式是(　　)
A．∀x≤1，x＋x2<2 B．∀x>1，x＋x2<2
C．∃x>1，x＋x2<2 D．∃x≤1，x＋x2<2
答案　B
解析　命题“∃x>1，x＋x2≥2 ”的否定形式是：∀x>1，x＋x2<2.
3．已知函数f(x)＝则f(f(3))等于(　　)
A. B．4 C. D.
答案　C
解析　∵f(3)＝－＝－2，
∴f(f(3))＝f(－2)＝2＝.
4．“0 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a＝0时，所给方程无实数根；
当a≠0时，若所给方程无实数根，则有Δ＝a2－4a<0，解得0 所以当ax2＋ax＋1＝0无实数根时，则有0≤a<4.
因为{a|0 所以“0 5．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为(　　)
A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]
C．[a，b] D．[－a，a＋b]
答案　C
解析　令x＋a＝t，∵x∈R，则t∈R，∴y＝f(t)，∴函数y＝f(t)与y＝f(x)是同一个函数；
∴y＝f(t)的值域为[a，b]．
6．已知函数g(＋2)＝x＋4－6，则g(x)的最小值是(　　)
A．－6 B．－8 C．－9 D．－10
答案　A
解析　g(＋2)＝x＋4－6，设t＝＋2(t≥2)，∴x＝(t－2)2，
g(t)＝(t－2)2＋4t－8－6＝t2－10(t≥2)，
故 g(t)min＝g(2)＝－6，即当x＝0时，有最小值－6.
7．函数f(x)＝的图像大致为(　　)


答案　B
解析　f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以该函数是定义域R上的奇函数，故排除C，D; 又当x>0时，f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝1时，取等号，故函数有最大值为1，排除选项A.
8．已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1,2]，则函数y＝f(－x)的定义域为(　　)
A．[－3,0] B．[－1,2] C．[0,3] D．[－2,1]
答案　A
解析　因为函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1,2]，
由－1≤x≤2，得0≤x＋1≤3，
所以y＝f(x)的定义域是[0,3]，
由0≤－x≤3，
得－3≤x≤0.
所以y＝f(－x)的定义域为[－3,0]．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列判断错误的是(　　)
A．x＋的最小值为2
B．{菱形}∩{矩形}＝{正方形}
C．方程组的解集为{2,1}
D．如果a 答案　AC
解析　对A：当x＝－1时，代数式的值为－2，而－2比2小，故本判断是不正确的；
对B：菱形是四边相等的平行四边形，矩形是四个内角相等的平行四边形，正方形是四边相等、四个内角相等的平行四边形，因此由交集的定义可知：{菱形}∩{矩形}＝{正方形}这个判断是正确的；对C：方程组的解为因此用集合表示为{(2,1)}不是{2,1}，所以该判断是不正确的；
对D：－＝＝，∵a 10．下列命题为真命题的是(　　)
A．∀x∈R，x2＋x＋1>0
B．当ac>0时，∃x∈R，ax2＋bx－c＝0
C．f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的充要条件
D．“－2 答案　AB
解析　对A：因为x2＋x＋1＝2＋>0，故该命题是真命题；
对B：当ac>0时，a≠0，因此一元二次方程ax2＋bx－c＝0的根的判别式为：Δ＝b2＋4ac>0，所以方程有实根，故该命题是真命题；
对C：如果函数是奇函数，但是在原点处没有定义，如f(x)＝，则必要性不成立，再如f(x)＝x2有f(0)＝0，但是f(x)是一个偶函数，所以充分性不成立．所以f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件，所以C是错误的．
对D：(x2－2|x|＋4)(x2－2x－3)<0⇔((|x|－1)2＋3)(x2－2x－3)<0⇔x2－2x－3<0⇔－1 11．若a，b，c∈R且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋b＋c≤ B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D．a2＋b2＋c2≥1
答案　BD
解析　a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
上述三个不等式全部相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥，
若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2，
∴A，C选项错误，B，D选项正确．
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a的值可能为(　　)
A．－6 B．8 C．9 D．12
答案　CD
解析　当a≤0时，方程f(x)＝0只有1个实根，从而方程f(f(x))＝0不可能有8个不同的实根，故a≤0时不成立．当a>0时，f(x)＝0的实根为－2a,0，a.令f(x)＝t，则f(f(x))＝f(t)＝0，
则t＝－2a,0，a，结合图像(图略)可知，直线y＝a与f(x)的图像有2个交点，直线y＝0与f(x)的图像有3个交点，所以由题意可得直线y＝－2a与f(x)的图像有3个交点，则必有－2a>－，又a>0，所以a>8.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．用“∈”“∉”“⊆”“⊇”填空：________Q，[0,2]______[－1,2]．(本题第一空2分，第二空3分)
答案　∉　⊆
解析　Q是有理数集，不是有理数，所以∉Q，
易知[0,2]是[－1,2]的子集，所以[0,2]⊆[－1,2]．
14．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k有两个零点，分别在1的两侧，则实数k的取值范围是_____．
答案　(1，＋∞)
解析　函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k开口向上，
由题意知解得k∈(1，＋∞)．
15．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1，则＋的最小值为________．
答案　17
解析　因为x>0，y>0，所以有：
＝1＋·1＝1＋(4x＋y)＝9＋＋≥9＋2＝17，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
16．设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．
答案　(3,6)
解析　作出函数f(x)的图像如图所示：

因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，不妨设x1 x1∈(－3,0)，
所以x1＋x2＋x3∈(3,6)．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.
(1)当a＝2时，求A∩B，(∁UB)∩(∁UA)；
(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∩B＝{x|1≤x≤4}；
∁UA＝{x|x＜1或x>7}，∁UB＝{x|x＜－2或x>4}，
(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x＜－2或x>7}；
(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴AB，
①若A＝∅，则a－1>2a＋3，解得a＜－4；
②若A≠∅，由AB，得且a－1≥－2与2a＋3≤4的等号不能同时取到，
解得，－1≤a≤，
综上所述，a的取值范围是(－∞，－4)∪.
18．(12分)设集合A＝{a，|a|，b＋1}，B＝{0，a2，b}，且A＝B.
(1)求a＋b的值；
(2)判断函数f(x)＝ax＋在[1，＋∞)上的单调性，并用定义法加以证明．
解　(1)由集合A＝B及集合中元素的互异性知b＋1＝0.
即b＝－1，此时A＝{a，|a|,0}，B＝{0，a2，－1}，
所以a＝－1，
此时A＝{－1,1,0}，B＝{0,1，－1}，满足A＝B，
故a＋b＝－2.
(2)由(1)知f(x)＝－x－，f(x)＝－x－在[1，＋∞)上单调递减．
证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)且x1 则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)
＝(x2－x1).
因为x1，x2∈[1，＋∞)且x1 所以x2－x1>0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)＝－x－在[1，＋∞)上单调递减．
19．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx满足f(x－1)＝f(x)＋x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝－2f(x)＋px在[2,4]上单调，求p的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝ax2＋bx满足f(x－1)＝f(x)＋x－1，
∴a(x－1)2＋b(x－1)＝ax2＋bx＋x－1，即ax2－(2a－b)x＋a－b＝ax2＋(b＋1)x－1，
∴－(2a－b)＝b＋1，a－b＝－1，得a＝－，b＝，
∴f(x)＝－x2＋x.
(2)∵g(x)＝－2f(x)＋px＝－2＋px＝x2＋(p－1)x在区间[2,4]上单调，
∴其对称轴x＝－≤2，或者x＝－≥4，
∴p≤－7，或者p≥－3.
20．(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求不等式f(x)≤1－的解集．
解　(1)若x<0，则－x>0.
因为当x>0时．f(x)＝x－3，所以f(－x)＝－x－3，
因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x＋3.
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
故f(x)＝
(2)当x<0时，f(x)＝x＋3≤1－，
解得x≤－，当x＝0时，f(0)＝0<1－，
则x＝0是不等式f(x)≤1－的解；
当x>0时，f(x)＝x－3≤1－.
解得x≤.又x>0，所以0 故原不等式的解集为∪.
21．(12分)某地草场出现火灾，火势正以每分钟60 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火30 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟80元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为30元．
(1)设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；
(2)问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？(注：总损失费＝灭火材料、劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费)
解　(1)由题意可知60(t＋5)＝30xt，即t＝.由30x>60可得x>2.
故t关于x的函数为t＝(x>2且x∈N＋)．
(2)设总损失费为f(x)，则f(x)＝80xt＋100x＋30(60t＋300)，
即f(x)＝80x×＋100x＋30＝＋100(x－2)＋10 000
≥2＋10 000＝12 800.
当且仅当＝100(x－2)，即x＝16时等号成立．
故派16名消防员前去救火，总损失费用最少．
22．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)＋f 为定值；
(3)求f ＋f ＋f ＋f(1)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值．
(1)解　∵函数f(x)＝，∴函数f(x)＝的定义域为R，定义域关于原点对称，又f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
(2)证明　∵f ＝＝＝＝－f(x)，
∴f(x)＋f ＝0为定值.
(3)解　由(2)知f(x)＋f ＝0，
f ＋f ＋f ＋f(1)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020) ＝＋＋＋f(1)＝0＋f(1)＝0.