高中数学第四章 指数函数、对数函数与幂函数本章综合与测试导学案

章末复习课

一、指数、对数运算

1．指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算法则以及换底公式等，会利用运算法则进行化简、计算、证明等．

2．掌握基本运算法则，重点提升数学运算素养．

例1　化简：(1)

(2)2log32－log3＋log38－

解　(1)原式＝

＝

(2)原式＝log34－log3＋log38－

＝log3－

＝log39－9＝2－9＝－7.

反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则

(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式，则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．

(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算法则，其次对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

跟踪训练1　(1)计算：80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．

答案　111

解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23

＝×＝1，

∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.

(2)已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．

答案　3

解析　由2x＝3，log4＝y得x＝log23，

y＝log4＝log2，

所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3.

二、函数图像的应用

1．指数函数、对数函数的图像及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图像，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图像的交点个数问题．

2．掌握指数函数、对数函数图像的作法以及简单的图像平移、翻折等变换，提升直观想象和逻辑推理素养．

例2　(1)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是(　　)

答案　C

解析　函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝x－1，此函数在R上为减函数，其图像过点(0,2)，所以选项C中的图像符合要求．

(2)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(1,2]   D.

答案　C

解析　如图所示，设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，

只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，

当0<a<1时显然不成立．

当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.∴loga2≥1，∴1<a≤2.

反思感悟　指数函数、对数函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图像，并会进行平移、对称、翻折等变换．

跟踪训练2　若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　)

答案　B

解析　由题意得y＝logax(a>0且a≠1)的图像过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符．

三、比较大小

1．比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．

2．掌握指数函数、对数函数和幂函数的图像和单调性，对于不同的底数，注意分类讨论，提升直观想象和逻辑推理素养．

例3　(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)

A．a>b>c   B．b>a>c

C．b>c>a   D．c>b>a

(2)设则(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．b<c<a   D．b<a<c

答案　(1)C　(2)D

解析　(1)∵a＝log20.3<log21＝0，b＝20.3>20＝1,0<c＝0.30.2<0.30＝1，∴b>c>a.

(2)∵∴b<a<c.

反思感悟　数的大小比较常用的技巧

(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．

跟踪训练3　已知0<a<1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则(　　)

A．x>y>z   B．z>y>x

C．y>x>z   D．z>x>y

答案　C

解析　依题意，得x＝loga，y＝loga，z＝loga.

又0<a<1，<<，

因此有loga>loga>loga，即y>x>z.

四、函数的综合性质应用

1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图像性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．

2．掌握指数函数、对数函数的图像及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养．

例4　已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.

(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；

(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；

(3)若对任意实数x1，x2∈[1,3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．

解　(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，所以n＝1.

所以f(x)＝x－.

其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋

＝x1－x2＋＝(x1－x2).

因为x1>x2>0，

所以x1－x2>0,1＋>0.

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，

只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．

因为f(x)在区间[1,3]上单调递增．

所以|f(x1)－f(x2)|的最大值为

|f(3)－f(1)|＝＝.

所以t≥.故t的最小值为.

反思感悟　解决此类问题要熟练掌握指数函数、对数函数的图像和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根．

跟踪训练4　已知函数f(x)＝lg(x＋2)－lg(2－x)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)求不等式f(x)>1的解集．

解　(1)要使函数f(x)有意义，则

解得－2<x<2.

故所求函数f(x)的定义域为(－2,2)．

(2)f(x)为奇函数．证明如下：

由(1)知f(x)的定义域为(－2,2)，

设任意的x∈(－2,2)，则－x∈(－2,2)，

且f(－x)＝lg(－x＋2)－lg(2＋x)＝－f(x)，

故f(x)为奇函数．

(3)因为f(x)在定义域(－2,2)上是增函数，

所以f(x)>1等价于>10，解得x>.

所以不等式f(x)>1的解集是.

1．(2020·全国Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)

A．a<c<b   B．a<b<c

C．b<c<a   D．c<a<b

答案　A

解析　∵3log32＝log38<2，

∴log32<，即a<c.

∵3log53＝log527>2，

∴log53>，即b>c.

∴a<c<b.

2．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)

A．1.2天  B．1.8天  C．2.5天  D．3.5天

答案　B

解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，

得r＝＝＝0.38.

由题意，累计感染病例数增加1倍，

则I(t2)＝2I(t1)，

即

所以

即0.38(t2－t1)＝ln 2，

所以t2－t1＝≈≈1.8.

3．(2019·浙江)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图像可能是(　　)

答案　D

解析　若0<a<1，则函数y＝是增函数，y＝loga是减函数且其图像过点，结合选项可知，选项D可能成立；若a>1，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图像过点，结合选项可知，没有符合的图像．

4．(2019·全国Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)

A．

B．

C．

D．

答案　C

解析　根据函数f(x)为偶函数可知，

f ＝f(－log34)＝f(log34)，

因为

且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

所以

5．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.

答案　－3

解析　当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.

因为函数f(x)为奇函数，

所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，

所以f(ln 2)＝e－aln 2＝a＝8，所以a＝－3.