高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数本章综合与测试学案

微专题1　换底公式

换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，常将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．

一、换底公式的正用

例1　(1)log29×log34等于(　　)

A.  B.  C．2  D．4

答案　D

解析　log29×log34＝×＝×＝4.

(2)已知a＝log152，b＝log35，则log12518＝________.

答案　

解析　因为a＝log152＝＝＝，

所以log32＝a(b＋1)＝ab＋a，

所以log12518＝＝

＝＝.

二、换底公式的逆用

例2　计算：＝________.

答案　－

解析　原式＝×

＝log2×log274＝×

＝×＝－.

三、换底公式的基本变形一：logab＝

例3　已知2a＝5b＝10，求＋的值．

解　∵2a＝10，∴a＝log210，

∴＝＝lg 2，

∵5b＝10，∴b＝log510，

∴＝＝lg 5.

∴＋＝lg 2＋lg 5＝1.

四、换底公式的基本变形二：＝logab

例4　已知log1627＝a，则log916＝________.

答案　

解析　∵log1627＝a，∴＝a，

∴log23＝a，∴log23＝a，

∴log916＝＝log32＝2log32＝2·

＝2×＝.

五、解对数方程

例5　若logablogbclogc3＝2，则a的值为________．

答案　

解析　∵logab·logbc·logc3＝··

＝＝2.

∴lg 3＝2lg a＝lg a2，

∴a2＝3，解得a＝或a＝－(舍去)．

六、证明对数恒等式

例6　证明：(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b.

证明　左边＝alg a＋lg b·blg a＋lg b

＝alg a·alg b·blg a·blg b，

又blg a＝.

所以左边＝alg a·blg b·blg a·alg b

＝alg a·blg b·alg b·alg b

＝alg a·blg b·a2lg b＝右边．

即原等式成立．