人教B版 (2019)必修 第二册5.1.1 数据的收集第2课时导学案

第2课时　分层抽样

学习目标　1.理解并掌握分层抽样.2.会用分层抽样从总体中抽取样本.3.理解两种抽样方法的区别与联系．

知识点　分层抽样的概念

一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)．

1．分层抽样是等可能抽样．(　√　)

2．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．(　√　)

3．在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　×　)

4．分层抽样中不能用简单随机抽样．(　×　)

一、分层抽样的概念

例1　(1)下列各项中属于分层抽样的特点的是(　　)

A．从总体中逐个抽取

B．将总体分成几层，分层进行抽取

C．将总体分成几部分，在各部分中抽取相同数量的个体

D．将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取

(2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．一次数学竞赛中，某班有10人在100分(含100分)以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况

C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

答案　(1)B　(2)B

解析　(1)A属于简单随机抽样的特点，B属于分层抽样的特点，C，D不属于分层抽样方法，所以应选B.

(2)A中总体个体无明显差异，不适合用分层抽样；C和D中总体个体无明显差异，不适合用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．

反思感悟　分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．

跟踪训练1　下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　)

A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样

B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样

C．从一箱30个零件中抽取5个入样

D．从甲、乙两厂生产的300个零件中抽取6个入样

答案　D

解析　A总体容量较大，样本容量较小，适合用随机数表法；B总体容量较大，且无明显差异，不适合用分层抽样；C总体容量较小且个体间无较大差异，样本容量较小，适合用抽签法；D总体有明显的层次，适合用分层抽样法．

二、分层抽样的应用

例2　某网站针对“2019年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：

(1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；

(2)从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？

解　(1)由题意得

＝，

解得n＝40.

(2)35岁以下的人数为×400＝4,35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1.

反思感悟　在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比，即＝.

跟踪训练2　一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．

解　因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．具体过程如下：

(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．

(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应分别抽取60人、40人、100人、40人、60人．

(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．

(4)将300人合到一起，即得到一个样本．

1．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(　　)

A．9  B．10  C．12  D．13

答案　D

解析　∵＝，∴n＝13.

2．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)

A．30人，30人，30人   B．30人，45人，15人

C．20人，30人，40人   D．30人，50人，10人

答案　B

解析　先求抽样比＝＝，各层再按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600

×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B.

3．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)

A.90  B．100  C．180  D．300

答案　C

解析　设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，解得x＝180.

4．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生为________人．

答案　160

解析　男生人数为560×＝160.

5．为了调查某省各城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．

答案　4

解析　乙组城市数占总城市数的比例为＝，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12×＝4.

1．知识清单：

(1)分层抽样的概念．

(2)分层抽样的应用．

2．常见误区：分层抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性一样．

1．要完成下列2项抽样调查：

①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查；

②某中学共有240名教职工，其中教师180名，行政人员24名，后勤人员36名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．

较为合理的抽样方法是(　　)

A．①简单随机抽样，②分层抽样

B．①简单随机抽样，②简单随机抽样

C．①分层抽样，②分层抽样

D．①分层抽样，②简单随机抽样

答案　A

解析　由抽样方法的特点可知，①用简单随机抽样，②用分层抽样较为合理．故选A.

2．某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且2b＝a＋c，则第二车间生产的产品数为(　　)

A．800  B．1 000  C．1 200  D．1 500

答案　C

解析　由2b＝a＋c，则第二车间生产的产品数为3 600×＝3 600×＝1 200.

3．简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是(　　)

A．都是从总体中逐个抽取

B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取

C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同

D．将总体分成几层，分层进行抽取

答案　C

解析　两种抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相同．

4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)

A．12,24,15,9   B．9,12,12,7

C．8,15,12,5   D．8,16,10,6

答案　D

解析　由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×＝8,40×＝16,40×＝10,40×＝6.

5．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)

A．101  B．808  C．1 212  D．2 012

答案　B

解析　甲社区驾驶员的抽样比例为＝，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为＝，即＝，所以N＝808.

6．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

答案　60

解析　根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.

7．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．

答案　1 800

解析　设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x)件．

由题意，得＝，解得x＝1 800.

8．某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查．其中从高一年级抽取了3人，则高一年级团干部的人数为__________．

答案　24

解析　∵某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查，其中从高一年级抽取了3人，∴高一年级团干部的人数为56×＝24.

9．某县共有320个自然村，其中山区32个，丘陵地区240个，平原地区48个．为调查村民收入状况，要从中抽出20个村进行调查，试设计一种比较合理的抽样方案，并简述抽样过程．

解　由于各地区自然条件的限制，各地区村民的经济收入有较大差异，故采用分层抽样法较为合理．因为＝，所以按的比例抽取，

应在山区抽取32×＝2(个)，

丘陵地区抽取240×＝15(个)，

平原地区抽取48×＝3(个)．

具体实施过程：对于山区和平原地区，由于自然村数量较少，可采用抽签法，具体实施过程略．对于丘陵地区，自然村个数较多且差异不大，可采取随机数表法．首先将240个村按001,002，…，240编号．然后用随机数表法抽取15个村，这样便得到了一个容量为20的样本．

10．某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的机会是0.18.

(1)问高二年级有多少名女生？

(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？

解　(1)由＝0.18，得x＝540，

∴高二年级有540名女生．

(2)高三年级人数为y＋z＝3 000－(487＋513＋540＋560)＝900.

∴×300＝90，故应在高三年级抽取90名学生．

11．某服装加工厂某月生产A，B，C三种产品共4 000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是(　　)

A．80  B．800  C．90  D．900

答案　B

解析　因为抽样比为，所以样本总容量为400.因为A与C共170件，所以A有90件，C有80件．所以C的产品数量为800.

12．共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：

为调查共享单车使用满意率情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20～30岁的人数为(　　)

A．12  B．28  C．69  D．91

答案　D

解析　由分层抽样的定义得应抽取20～30岁的人数为200×45.5%＝91.

13．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在用分层抽样的方法抽取样本，为使每位学生被抽到的可能都为，则应抽取高一学生人数为(　　)

A．8  B．11  C．16  D．10

答案　A

解析　若设高一学生数为x，则高三学生数为2x，高二学生数为x＋300，

所以有x＋2x＋x＋300＝3 500，解得x＝800.

故高一学生人数为800，

因此应抽取高一学生人数为800×＝8.

14．某电视台为了调查某综艺节目的收视率，现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中有青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为________．

答案　180

解析　设老年人有x人，从中抽取y人，

则1 600＋3x＝4 300，得x＝900，即老年人有900人，

则＝，得y＝180.

15．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为(　　)

A．36  B．6  C．12  D．18

答案　A

解析　设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，∴持“喜欢”态度的有6x＝36(人)．

16．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.

(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？

(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？

解　(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．

因为样本容量为120，总体个数为500＋3 000＋4 000＝7 500，则每人被抽到的可能性为＝，

所以有500×＝8,3 000×＝48，

4 000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.

分层抽样的步骤是

①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层．

②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.

③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本．

④综合每层抽样，组成样本．

这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．

(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法．如果用抽签法，要做3 000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：

①编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001,0 002,0 003，…，3 000.

②在随机数表上随机选取一个开始位置．

③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．

④按照得到的编号找到相应答卷，组成样本．