高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念导学案，共12页。学案主要包含了向量的有关概念，向量的表示及其应用，相等向量与共线向量等内容，欢迎下载使用。
6.1.1 向量的概念
学习目标 1.理解向量、零向量、向量模的意义.2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置.3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系．
知识点一 向量及其表示
1．定义
既有大小又有方向的量叫做向量．
2．有向线段
具有方向和长度的线段叫做有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度也叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
3．向量的长度
|eq \(AB,\s\up6(→))|(或|a|)表示向量eq \(AB,\s\up6(→))(或a)的大小，即长度(也称模)．
4．向量的表示法
(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
(2)向量也可以用加粗的斜体小写字母如a，b，c，…来表示．
知识点二 向量的有关概念
1．零向量没有方向．( × )
2．向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度和向量eq \(BA,\s\up6(→))的模相等．( √ )
3．单位向量都平行．( × )
4．零向量与任意向量都平行．( √ )
一、向量的有关概念
例1 (多选)下列命题为真命题的是( )
A．两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等
B．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
C．在菱形ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
D．a＝b，b＝c，则a＝c
答案 BCD
解析 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故A不正确；单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故B正确；C，D显然正确．
反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
跟踪训练1 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
答案 ③
解析 ①错误，由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系；
②错误，如|0|＝0；③正确，对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))必须在同一直线上．
二、向量的表示及其应用
例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)eq \(OA,\s\up6(→))，使|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))，使|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东；
(3)eq \(BC,\s\up6(→))，使|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°.
解 (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up6(→))如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up6(→))如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up6(→))如图所示．
反思感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练2 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)求eq \(AD,\s\up6(→))的模．
解 (1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，如图所示．
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5eq \r(5)米．
三、相等向量与共线向量
例3 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
解 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→)).
(2)与a共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
(3)与a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EO,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→)).
反思感悟 寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
跟踪训练3 如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量；
(2)找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量．
解 (1)依据图形可知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相同，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相反，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量为eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→)).
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))长度相等且方向相同，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq \(DC,\s\up6(→))和eq \(ED,\s\up6(→)).
1．下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
③若|a|