2020-2021学年6.3 平面向量线性运算的应用学案

这是一份2020-2021学年6.3 平面向量线性运算的应用学案，共11页。学案主要包含了向量在平面几何中的应用，向量在物理中的应用等内容，欢迎下载使用。


知识点一 向量在平面几何中的应用
1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系．
3．把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点二 向量在物理中的应用
1．力向量
力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．
2．速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．
1．若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，则直线AB与CD平行．( × )
2．求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( √ )
3．若向量eq \(OF1,\s\up6(→))＝(2,2)，eq \(OF2,\s\up6(→))＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝5.( √ )
4．若eq \(AB,\s\up6(→))＝3e，eq \(DC,\s\up6(→))＝5e，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为等腰梯形．( √ )
一、向量在平面几何中的应用
例1 求证：顺次连接任意四边形各边中点，构成一个平行四边形．
证明 如图，设M，N，Q，P是四边形ABCD各边的中点，
那么eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＝(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))＋(eq \(QD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))，∴四边形MNQP是平行四边形．
反思感悟 用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 如图所示，已知F是平行四边形ABCD的边CD的中点，连接AF交BD于点E.求证：点E是对角线BD的一个三等分点．
证明 设实数λ，μ满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AE,\s\up6(→))＝λ\(AF,\s\up6(→))，,\(BE,\s\up6(→))＝μ\(BD,\s\up6(→))，))
则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，
∴λeq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→)).
∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋μ(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，
∴(λ－μ)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－μ－\f(1,2)λ))eq \(AB,\s\up6(→)).
又eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝0，,1－μ－\f(1,2)λ＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3).))∴eq \(BE,\s\up6(→))＝μeq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))，
可知E是BD(靠近D)的一个三等分点．
二、向量在物理中的应用
例2 某人在静水中游泳的速度为4eq \r(3) km/h.
(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？
解 (1)如图①，设人游泳的速度为eq \(OB,\s\up6(→))，水流的速度为eq \(OA,\s\up6(→))，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，根据勾股定理，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.
(2)如图②，设此人的实际速度为eq \(OB,\s\up6(→))，水流速度为eq \(OA,\s\up6(→)).
∵实际速度＝游速＋水速，故游速为eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，
在Rt△AOB中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).
∴cs ∠BAO＝eq \f(\r(3),3)，
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为eq \f(\r(3),3)，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4eq \r(2) km/h.
反思感悟 用向量方法解决物理问题的“三步曲”
跟踪训练2 如图所示，一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．
解 设向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))分别表示两力，以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OACB，eq \(OC,\s\up6(→))即为合力，如图所示．
由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°.
过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中，|eq \(OD,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|·cs 30°＝60×eq \f(\r(3),2)＝30eq \r(3).
故|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2|eq \(OD,\s\up6(→))|＝60eq \r(3)，即合力的大小为60eq \r(3) N，方向与水平方向成30°角．
1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案 D
解析 ∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，
∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3,2)－(4，－3)＝(1,2)．故选D.
2．某人以速度a km/h向东行走，此时正刮着时速为a km/h的南风，那么此人感受到的风向、风速为( )
A．东南风，eq \r(2)a km/h B．东风，eq \r(2)a km/h
C．南风，a km/h D．西南风，eq \r(2)a km/h
答案 A
解析 如图所示，设人的速度为v1，风速为v2，则人感受到的风速为v，且|v|＝eq \r(2)a.
3．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2eq \r(5) B.eq \f(5\r(5),2) C．3eq \r(5) D.eq \f(7\r(5),2)
答案 B
解析 BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，5))，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(5\r(5),2).
4．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________ km/h.
答案 150eq \r(3)
解析 如图所示，|v1|＝|v|cs 30°＝300×eq \f(\r(3),2)＝150eq \r(3)(km/h)．
5．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案 (3,3)
解析 设点P(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,4)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y－0)＝(x－4，y)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(2－4,6－0)＝(－2,6)，
由eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))共线得4x－4y＝0，①
由eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线得6(x－4)－(－2)y＝0，②
联立①②，解得x＝3，y＝3，即点P的坐标为(3,3)．
1．知识清单：
(1)向量在平面几何中的应用．
(2)向量在物理中的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：不能转化为向量问题．
1．一艘船以5 km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为( )
A．5eq \r(3) km/h B．5 km/h
C．5eq \r(2) km/h D．10 km/h
答案 A
解析 如图所示，船速|v1|＝5，水速度为v2，实际速度|v|＝10，
∴|v2|＝|v|cs 30°＝5eq \r(3)(km/h)．
2．已知四边形ABCD各顶点坐标是Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(7,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，－2))，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
答案 A
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3)))，eq \(DC,\s\up6(→))＝(3,4)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(DC,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|eq \(DC,\s\up6(→))|.
∴四边形ABCD是梯形．
3．炮弹的初速度为v0，发射角为θ(v0与水平面的夹角)，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为( )
A．y＝|v0|t B．y＝|v0|sin θ·t－eq \f(1,2)|g|t2
C．y＝|v0|sin θ·t D．y＝|v0|cs θ·t
答案 B
解析 炮弹上升的速度的大小为|v0|sin θ，所以上升的高度与时间t的关系是：y＝|v0|sin θ·t－eq \f(1,2)|g|t2.
4．已知点A(2,0)，B(－4,4)，C(1，－1)，D是线段AB的中点，延长CD到点E，使|eq \(DC,\s\up6(→))|＝2|eq \(DE,\s\up6(→))|，则点E的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(7,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(7,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(7,2)))
答案 A
解析 由已知得D(－1,2)，因为|eq \(DC,\s\up6(→))|＝2|eq \(DE,\s\up6(→))|，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DE,\s\up6(→))，设E(x，y)，则有(－2,3)＝2(x＋1，y－2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2＝－2，,2y－4＝3，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝\f(7,2).))
5．O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则∠BAC等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 取BC的中点D，连接AD，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→)).
由题意得3eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，
∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，
∴△ABC为正三角形，
∴∠BAC＝60°，故选C.
6．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，则|eq \(AP,\s\up6(→))|＝________.
答案 1
解析 如图，设BC边的中点为D，连接AD，则eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))⇒eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))⇒eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))⇒eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，
因此|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1.
7．设O是△ABC内部一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－2eq \(OB,\s\up6(→))，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
答案 1∶2
解析 设D为AC的中点，
如图所示，连接OD，
则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→)).
又eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \(OB,\s\up6(→))，即O为BD的中点，
从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
8．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.
答案 10
解析 如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝10，
则|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
9.如图所示，已知eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→)).求证：四边形APQB为梯形．
证明 因为eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(13,15)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(PQ,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))且|eq \(PQ,\s\up6(→))|≠|eq \(AB,\s\up6(→))|.
所以四边形APQB为梯形．
10．河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10eq \r(3) km/h，求小船的实际航行速度．
解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))为邻边作矩形OACB，连接eq \(OC,\s\up6(→))，如图，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，并且eq \(OC,\s\up6(→))即为小船的实际航行速度．
∴|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(a2＋b2)＝20(km/h)，
tan ∠AOC＝eq \f(10\r(3),10)＝eq \r(3)，∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行．
11．已知a＝(－1，eq \r(3))，eq \(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是( )
A.eq \r(3) B．2 C．2eq \r(2) D．4
答案 D
解析 因为a＝(－1，eq \r(3))，所以|a|＝eq \r(1＋3)＝2.
设AB中点为C，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝a，
则|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|a|＝2.
所以在Rt△AOB中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(OC,\s\up6(→))|＝4，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)×4×2＝4.
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，若实数λ满足eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AP,\s\up6(→))，则λ的值为( )
A．2 B.eq \f(3,2) C．3 D．6
答案 C
解析 如图，取BC的中点为D，
则eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→)).
又eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
∴2eq \(PD,\s\up6(→))＝－eq \(PA,\s\up6(→))，∴A，P，D三点共线且|eq \(PA,\s\up6(→))|＝2|eq \(PD,\s\up6(→))|，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
又∵eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AP,\s\up6(→))，即λ＝3.
13.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
答案 eq \f(3,11)
解析 因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(NP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(NP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,44)eq \(AC,\s\up6(→)).
又eq \(NB,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
故设eq \(NP,\s\up6(→))＝λeq \(NB,\s\up6(→))，则meq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,44)eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)λeq \(AC,\s\up6(→))，
所以m＝λ＝eq \f(3,11).
14．一条河宽为800 m，一船从A处出发想要垂直到达河正对岸的B处，若船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.
答案 3
解析 由题意作出示意图，如图，
∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，
∴|v实际|＝eq \r(|v1|2－|v2|2)
＝eq \r(202－122)＝16(km/h)．
∴所需时间t＝eq \f(0.8,16)＝0.05(h)
＝3(min)．
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
15.如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(DB,\s\up6(→))＋μeq \(AP,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________．
答案 3
解析 以A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，点P的横坐标为x，x∈[0,2]，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)．
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(x,2)．
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(DB,\s\up6(→))＋μeq \(AP,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＋xμ＝2，,－2λ＋2μ＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2－x,2＋x)，,μ＝\f(4,2＋x)，))
∴λ＋μ＝eq \f(6－x,2＋x).令f(x)＝eq \f(6－x,2＋x)(0≤x≤2)，
∵f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)max＝f(0)＝3.
16．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq \r(3) km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．
解 如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2eq \r(3) km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是eq \r(3) km/h.