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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理学案，共13页。学案主要包含了共线向量基本定理的应用，用基底表示向量，平面基本定理的应用等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.了解共线向量基本定理和平面向量基本定理及其意义.2.能应用共线向量基本定理和平面向量基本定理解决一些实际问题．
知识点一 共线向量基本定理
1．定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得b＝λa.
2．说明：(1) b＝λa时，通常称为b能用a表示．
(2)唯一性，当b＝λa时，λ唯一．
3．作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→)).
知识点二 平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的一组基底．
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × )
2．零向量可以作为基向量．( × )
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )
4．若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( √ )
一、共线向量基本定理的应用
例1 (1)设e1，e2是两个不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值；
(2)设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解 (1)若A，B，D三点共线，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))共线．设eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1与e2不共线可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2e1＝λe1，,ke2＝－4λe2，))∴λ＝2，k＝－8.
(2)d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，
要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k))得λ＝－2μ.
故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.
反思感悟 (1)本题充分利用了共线向量基本定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共点问题，也可以根据共线求参数的值．
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
跟踪训练1 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．
解 由于A，B，P三点共线，所以向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，
即eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
二、用基底表示向量
例2 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→)).
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(CF,\s\up6(→))，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a.
∴eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))
＝－b＋a＋eq \f(1,2)b＝a－eq \f(1,2)b，
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝b－eq \f(1,2)a.
延伸探究
若本例中其他条件不变，设eq \(DE,\s\up6(→))＝a，eq \(BF,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
解 如图，取CF的中点G，连接EG.
∵E，G分别为BC，CF的中点，
∴eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，
∴eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EG,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b.
又∵eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))＝eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b.
又∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a＋\f(2,3)b))
＝eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b.
反思感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b.试以a，b为基底表示eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→)).
解 ∵AD∥BC，且AD＝eq \f(1,3)BC，∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b.
∵E为AD的中点，∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)b.
∵eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,6)b－a＋eq \f(1,2)b＝eq \f(1,3)b－a，
eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)b＋eq \f(1,3)b－a＝eq \f(1,6)b－a，
eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→))＋eq \(FD,\s\up6(→))＝－(eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→)))
＝－(eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)b－a＋\f(1,2)b))＝a－eq \f(2,3)b.
三、平面基本定理的应用
例3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
解 设eq \(BM,\s\up6(→))＝e1，eq \(CN,\s\up6(→))＝e2，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))
＝－λe1－3λe2，
eq \(BP,\s\up6(→))＝μeq \(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.
故eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(BN,\s\up6(→))，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
延伸探究
在本例条件下，若eq \(CM,\s\up6(→))＝a，eq \(CN,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq \(CP,\s\up6(→)).
解 由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(NB,\s\up6(→))，
eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(NB,\s\up6(→))＝b＋eq \f(2,5)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CN,\s\up6(→)))
＝b＋eq \f(4,5)a－eq \f(2,5)b＝eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b.
反思感悟 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
跟踪训练3 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足eq \(DO,\s\up6(→))＝3eq \(DM,\s\up6(→))，线段CO上有点N满足eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(ON,\s\up6(→))(λ>0)，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，已知eq \(MN,\s\up6(→))＝μa－eq \f(1,6)b，试求实数λ，μ的值．
解 依题意得eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
且eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(a－b)＝eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b，
eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))(a＋b)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DM,\s\up6(→))＝b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b，
eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μa－\f(1,6)b))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋μ))a＋eq \f(2,3)b，
即eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))(a＋b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋μ))a＋eq \f(2,3)b，
由平面向量基本定理，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)＝\f(2,3)，,\f(1,2)＋\f(1,2λ)＝\f(1,6)＋μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,μ＝\f(1,2).))
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－eq \f(1,2)e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案 D
解析 e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．
2．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
答案 C
解析 不妨令a＝eq \(CA,\s\up6(→))，b＝eq \(CB,\s\up6(→))，则a－b＝eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，
由平行四边形法则可知eq \(BA,\s\up6(→))＝e1－3e2.
3．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为( )
A．0 B．－1 C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 D
解析 因为向量a与b共线，所以设b＝ma，即e1＋λe2＝m(2e1－e2)，解得λ＝－eq \f(1,2)，故选D.
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－5y)e1＋(2x－3y)e2＝8e1＋4e2，则x＝________，y＝________.
答案 －4 －4
解析 ∵向量e1，e2不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5y＝8，,2x－3y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－4.))
5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．
答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)
解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
1．知识清单：
(1)共线向量基本定理．
(2)对平面向量基本定理的理解．
(3)用基底表示向量．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：基底的不唯一．
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．不确定
答案 B
解析 ∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
2．已知O是正方形ABCD的中心．若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则eq \f(λ,μ)等于( )
A．－2 B．－eq \f(1,2) C．－eq \r(2) D.eq \r(2)
答案 A
解析 ∵eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，∴λ＝1，μ＝－eq \f(1,2)，因此eq \f(λ,μ)＝－2.
3．点P满足向量eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
答案 C
解析 ∵eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C.
4.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，若以a，b为基底，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．a－eq \f(1,2)b B.eq \f(1,2)a－b
C．a＋eq \f(1,2)b D.eq \f(1,2)a＋b
答案 D
解析 连接OD，CD(图略)，显然∠BOD＝∠CAO＝60°，则AC∥OD，且AC＝OD，即四边形CAOD为菱形，故eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b.
5.如图，若D点在△ABC的边BC上，且eq \(CD,\s\up6(→))＝4eq \(DB,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，则3r＋s的值为( )
A.eq \f(16,5) B.eq \f(12,5)
C.eq \f(8,5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 ∵eq \(CD,\s\up6(→))＝4eq \(DB,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，
∴r＝eq \f(4,5)，s＝－eq \f(4,5)，∴3r＋s＝eq \f(12,5)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,5).
6．设{e1，e2}是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
答案 eq \f(2,3) －eq \f(1,3)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝e1＋2e2，,b＝－e1＋e2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e1＝\f(1,3)a－\f(2,3)b，,e2＝\f(1,3)a＋\f(1,3)b.))
故e1＋e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－\f(2,3)b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a＋\f(1,3)b))
＝eq \f(2,3)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))b.
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)k))e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝__________.
答案 －2或eq \f(1,3)
解析 由题设知eq \f(k2,2)＝eq \f(1－\f(5,2)k,3)，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或eq \f(1,3).
8.如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，则eq \(CF,\s\up6(→))＝________.( 以eq \(CB,\s\up6(→))＝e1，eq \(CA,\s\up6(→))＝e2为基底)
答案 eq \f(3,4)e1＋eq \f(1,4)e2
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(e1－e2)，
所以eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝e2＋eq \f(3,4)(e1－e2)＝eq \f(3,4)e1＋eq \f(1,4)e2.
9.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OE,\s\up6(→))＋μeq \(OF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
解 在矩形OACB中，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
又eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OE,\s\up6(→))＋μeq \(OF,\s\up6(→))
＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＋μ(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))
＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OA,\s\up6(→))))
＝eq \f(3λ＋μ,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(3μ＋λ,3)eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \f(3λ＋μ,3)＝1，eq \f(3μ＋λ,3)＝1，所以λ＝μ＝eq \f(3,4).
10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))，求x，y的值．
解 (1)由eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))可知M，B，C三点共线，
如图，令eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))⇒eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λ(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))⇒λ＝eq \f(1,4)，
所以eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(1,4)，
即面积之比为1∶4.
(2)由eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))⇒eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BA,\s\up6(→))，
eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(x,4)eq \(BC,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))
11．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，其中{e1，e2}为基底向量，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3 C．－2 D．3
答案 A
解析 根据题意得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，
∵A，B，D三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λ，,－k＝－2λ，))∴k＝2.
12.如图，在△ABC中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P.若eq \(AP,\s\up6(→))＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(6,7) D．1
答案 C
解析 由题意可得eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(QP,\s\up6(→))，eq \(QB,\s\up6(→))＝2eq \(QR,\s\up6(→))，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＝eq \(AQ,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→))＋2eq \(QR,\s\up6(→))，①
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))－eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(QR,\s\up6(→))＝b，②
由①②解方程求得eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)a＋eq \f(4,7)b.
再由eq \(AP,\s\up6(→))＝ma＋nb可得m＝eq \f(2,7)，n＝eq \f(4,7)，m＋n＝eq \f(6,7).
13．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，则eq \(AF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
答案 D
解析 ∵△DEF∽△BEA，
∴eq \f(DF,AB)＝eq \f(DE,EB)＝eq \f(1,3)，∴DF＝eq \f(1,3)AB，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b，
联立得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)＋eq \f(1,6)(a－b)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
14.如图，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋2meq \(OB,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，则λ＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 ∵eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))共线，
∴存在实数μ，使eq \(OP,\s\up6(→))＝μeq \(OC,\s\up6(→))＝mμeq \(OA,\s\up6(→))＋2mμeq \(OB,\s\up6(→)).
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝mμeq \(OA,\s\up6(→))＋2mμeq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))
＝(mμ－1)eq \(OA,\s\up6(→))＋2mμeq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))
＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝－λeq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→)).
∵eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mμ－1＝－λ，,2mμ＝λ，))解得λ＝eq \f(2,3).
15.如图所示，在四边形ABCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，E为BC的中点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则3x－2y等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2) C．1 D．2
答案 C
解析 由题意，得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
∵eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，
∴xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))不共线，∴由平面向量基本定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(1,2).))
∴3x－2y＝3×eq \f(2,3)－2×eq \f(1,2)＝1.故选C.
16.如图，平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)).
在Rt△OCD中，
∵|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴|eq \(OD,\s\up6(→))|＝4，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2，
故eq \(OD,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OE,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
学习目标 1.了解共线向量基本定理和平面向量基本定理及其意义.2.能应用共线向量基本定理和平面向量基本定理解决一些实际问题．
知识点一 共线向量基本定理
1．定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得b＝λa.
2．说明：(1) b＝λa时，通常称为b能用a表示．
(2)唯一性，当b＝λa时，λ唯一．
3．作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→)).
知识点二 平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的一组基底．
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × )
2．零向量可以作为基向量．( × )
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )
4．若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( √ )
一、共线向量基本定理的应用
例1 (1)设e1，e2是两个不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值；
(2)设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解 (1)若A，B，D三点共线，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))共线．设eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1与e2不共线可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2e1＝λe1，,ke2＝－4λe2，))∴λ＝2，k＝－8.
(2)d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，
要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k))得λ＝－2μ.
故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.
反思感悟 (1)本题充分利用了共线向量基本定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共点问题，也可以根据共线求参数的值．
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
跟踪训练1 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．
解 由于A，B，P三点共线，所以向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，
即eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
二、用基底表示向量
例2 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→)).
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(CF,\s\up6(→))，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a.
∴eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))
＝－b＋a＋eq \f(1,2)b＝a－eq \f(1,2)b，
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝b－eq \f(1,2)a.
延伸探究
若本例中其他条件不变，设eq \(DE,\s\up6(→))＝a，eq \(BF,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
解 如图，取CF的中点G，连接EG.
∵E，G分别为BC，CF的中点，
∴eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，
∴eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EG,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b.
又∵eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))＝eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b.
又∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a＋\f(2,3)b))
＝eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b.
反思感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b.试以a，b为基底表示eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→)).
解 ∵AD∥BC，且AD＝eq \f(1,3)BC，∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b.
∵E为AD的中点，∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)b.
∵eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,6)b－a＋eq \f(1,2)b＝eq \f(1,3)b－a，
eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)b＋eq \f(1,3)b－a＝eq \f(1,6)b－a，
eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→))＋eq \(FD,\s\up6(→))＝－(eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→)))
＝－(eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)b－a＋\f(1,2)b))＝a－eq \f(2,3)b.
三、平面基本定理的应用
例3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
解 设eq \(BM,\s\up6(→))＝e1，eq \(CN,\s\up6(→))＝e2，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))
＝－λe1－3λe2，
eq \(BP,\s\up6(→))＝μeq \(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.
故eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(BN,\s\up6(→))，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
延伸探究
在本例条件下，若eq \(CM,\s\up6(→))＝a，eq \(CN,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq \(CP,\s\up6(→)).
解 由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(NB,\s\up6(→))，
eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(NB,\s\up6(→))＝b＋eq \f(2,5)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CN,\s\up6(→)))
＝b＋eq \f(4,5)a－eq \f(2,5)b＝eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b.
反思感悟 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
跟踪训练3 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足eq \(DO,\s\up6(→))＝3eq \(DM,\s\up6(→))，线段CO上有点N满足eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(ON,\s\up6(→))(λ>0)，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，已知eq \(MN,\s\up6(→))＝μa－eq \f(1,6)b，试求实数λ，μ的值．
解 依题意得eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
且eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(a－b)＝eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b，
eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))(a＋b)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DM,\s\up6(→))＝b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b，
eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μa－\f(1,6)b))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋μ))a＋eq \f(2,3)b，
即eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)))(a＋b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋μ))a＋eq \f(2,3)b，
由平面向量基本定理，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2λ)＝\f(2,3)，,\f(1,2)＋\f(1,2λ)＝\f(1,6)＋μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,μ＝\f(1,2).))
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－eq \f(1,2)e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案 D
解析 e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．
2．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
答案 C
解析 不妨令a＝eq \(CA,\s\up6(→))，b＝eq \(CB,\s\up6(→))，则a－b＝eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，
由平行四边形法则可知eq \(BA,\s\up6(→))＝e1－3e2.
3．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为( )
A．0 B．－1 C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 D
解析 因为向量a与b共线，所以设b＝ma，即e1＋λe2＝m(2e1－e2)，解得λ＝－eq \f(1,2)，故选D.
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－5y)e1＋(2x－3y)e2＝8e1＋4e2，则x＝________，y＝________.
答案 －4 －4
解析 ∵向量e1，e2不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5y＝8，,2x－3y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－4.))
5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．
答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)
解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
1．知识清单：
(1)共线向量基本定理．
(2)对平面向量基本定理的理解．
(3)用基底表示向量．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：基底的不唯一．
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．不确定
答案 B
解析 ∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
2．已知O是正方形ABCD的中心．若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则eq \f(λ,μ)等于( )
A．－2 B．－eq \f(1,2) C．－eq \r(2) D.eq \r(2)
答案 A
解析 ∵eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，∴λ＝1，μ＝－eq \f(1,2)，因此eq \f(λ,μ)＝－2.
3．点P满足向量eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
答案 C
解析 ∵eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C.
4.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，若以a，b为基底，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．a－eq \f(1,2)b B.eq \f(1,2)a－b
C．a＋eq \f(1,2)b D.eq \f(1,2)a＋b
答案 D
解析 连接OD，CD(图略)，显然∠BOD＝∠CAO＝60°，则AC∥OD，且AC＝OD，即四边形CAOD为菱形，故eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b.
5.如图，若D点在△ABC的边BC上，且eq \(CD,\s\up6(→))＝4eq \(DB,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，则3r＋s的值为( )
A.eq \f(16,5) B.eq \f(12,5)
C.eq \f(8,5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 ∵eq \(CD,\s\up6(→))＝4eq \(DB,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，
∴r＝eq \f(4,5)，s＝－eq \f(4,5)，∴3r＋s＝eq \f(12,5)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,5).
6．设{e1，e2}是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
答案 eq \f(2,3) －eq \f(1,3)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝e1＋2e2，,b＝－e1＋e2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e1＝\f(1,3)a－\f(2,3)b，,e2＝\f(1,3)a＋\f(1,3)b.))
故e1＋e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－\f(2,3)b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a＋\f(1,3)b))
＝eq \f(2,3)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))b.
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)k))e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝__________.
答案 －2或eq \f(1,3)
解析 由题设知eq \f(k2,2)＝eq \f(1－\f(5,2)k,3)，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或eq \f(1,3).
8.如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，则eq \(CF,\s\up6(→))＝________.( 以eq \(CB,\s\up6(→))＝e1，eq \(CA,\s\up6(→))＝e2为基底)
答案 eq \f(3,4)e1＋eq \f(1,4)e2
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(e1－e2)，
所以eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝e2＋eq \f(3,4)(e1－e2)＝eq \f(3,4)e1＋eq \f(1,4)e2.
9.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OE,\s\up6(→))＋μeq \(OF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
解 在矩形OACB中，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
又eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OE,\s\up6(→))＋μeq \(OF,\s\up6(→))
＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＋μ(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))
＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OA,\s\up6(→))))
＝eq \f(3λ＋μ,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(3μ＋λ,3)eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \f(3λ＋μ,3)＝1，eq \f(3μ＋λ,3)＝1，所以λ＝μ＝eq \f(3,4).
10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))，求x，y的值．
解 (1)由eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))可知M，B，C三点共线，
如图，令eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))⇒eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λ(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))⇒λ＝eq \f(1,4)，
所以eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(1,4)，
即面积之比为1∶4.
(2)由eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))⇒eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BA,\s\up6(→))，
eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(x,4)eq \(BC,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))
11．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，其中{e1，e2}为基底向量，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3 C．－2 D．3
答案 A
解析 根据题意得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，
∵A，B，D三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λ，,－k＝－2λ，))∴k＝2.
12.如图，在△ABC中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P.若eq \(AP,\s\up6(→))＝ma＋nb，则m＋n等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(6,7) D．1
答案 C
解析 由题意可得eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(QP,\s\up6(→))，eq \(QB,\s\up6(→))＝2eq \(QR,\s\up6(→))，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＝eq \(AQ,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→))＋2eq \(QR,\s\up6(→))，①
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))－eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(QR,\s\up6(→))＝b，②
由①②解方程求得eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)a＋eq \f(4,7)b.
再由eq \(AP,\s\up6(→))＝ma＋nb可得m＝eq \f(2,7)，n＝eq \f(4,7)，m＋n＝eq \f(6,7).
13．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，则eq \(AF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
答案 D
解析 ∵△DEF∽△BEA，
∴eq \f(DF,AB)＝eq \f(DE,EB)＝eq \f(1,3)，∴DF＝eq \f(1,3)AB，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b，
联立得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)＋eq \f(1,6)(a－b)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
14.如图，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋2meq \(OB,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，则λ＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 ∵eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))共线，
∴存在实数μ，使eq \(OP,\s\up6(→))＝μeq \(OC,\s\up6(→))＝mμeq \(OA,\s\up6(→))＋2mμeq \(OB,\s\up6(→)).
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝mμeq \(OA,\s\up6(→))＋2mμeq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))
＝(mμ－1)eq \(OA,\s\up6(→))＋2mμeq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))
＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝－λeq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→)).
∵eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mμ－1＝－λ，,2mμ＝λ，))解得λ＝eq \f(2,3).
15.如图所示，在四边形ABCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，E为BC的中点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则3x－2y等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2) C．1 D．2
答案 C
解析 由题意，得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
∵eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，
∴xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))不共线，∴由平面向量基本定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(1,2).))
∴3x－2y＝3×eq \f(2,3)－2×eq \f(1,2)＝1.故选C.
16.如图，平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)).
在Rt△OCD中，
∵|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴|eq \(OD,\s\up6(→))|＝4，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2，
故eq \(OD,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OE,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，
即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
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