2022年高中数学新教材人教B版必修第二册学案章末检测试卷三(第六章)

这是一份数学全册综合导学案及答案，共10页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．如图，在五边形ABCDE中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(AD,\s\up6(→)) C.eq \(BD,\s\up6(→)) D.eq \(BE,\s\up6(→))
答案 B
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案 A
解析 eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，故eq \(BC,\s\up6(→))＝(－7，－4)．
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 充分性：若m＝－6，则a＋b＝(－1,2)＋(3，－6)＝(2，－4)，则a＝－eq \f(1,2)(a＋b)，可推出a∥(a＋b)，故充分性成立；必要性：若a∥(a＋b)，则a＋b＝ka，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋m＝2k，,2＝－k，))解得m＝－6，故必要性成立；综上所述，“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
4．如图所示，△ABC中，AD＝eq \f(2,3)AB，BE＝eq \f(1,2)BC，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))，故选D.
5．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－3eq \(BC,\s\up6(→))，则点D的坐标为( )
A．(2,16) B．(－2，－16)
C．(4,16) D．(2,0)
答案 A
解析 设D(x，y)，由题意可知eq \(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－4)，
∴2eq \(AB,\s\up6(→))－3eq \(BC,\s\up6(→))＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝3，,y－2＝14，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝16.))故选A.
6．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案 D
解析 ∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
7．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若eq \(CB,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，则eq \(CD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
答案 B
解析 ∵CD平分∠ACB，∴eq \f(|\(CA,\s\up6(→))|,|\(CB,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))|,|\(DB,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,1)，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)(a－b)．
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝b＋eq \f(2,3)(a－b)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
8.如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于点E.若eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，则λ等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 方法一 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，
由题意得eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝2a－eq \f(5,3)b.
因为eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝λa，设eq \(DE,\s\up6(→))＝μeq \(DC,\s\up6(→))＝2μa－eq \f(5,3)μb，
又eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))，
所以λa＝eq \f(2,3)b＋2μa－eq \f(5,3)μb＝2μa＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)－\f(5,3)μ))b，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2μ，,\f(2,3)－\f(5,3)μ＝0，))所以λ＝eq \f(4,5).
方法二 由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，如图，过点A作AF∥OB交CD于点F，则eq \f(AF,BD)＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,2)，
即AF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,4)OD，
故AE＝eq \f(1,4)OE，则OE＝eq \f(4,5)OA，
又eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，故λ＝eq \f(4,5).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题中正确的是( )
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．若a与b满足|a|>|b|，且a与b同向，则a>b
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
答案 AD
解析 单位向量的模均为1，故A正确；向量共线包括同向和反向，故B不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；根据相等向量的概念知，D正确．故选AD.
10．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值可能是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 AC
解析 a与b是共线的单位向量，若a，b同向，则|a＋b|＝2；若a，b反向，则|a＋b|＝0.
11．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a可能是( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(3，－1) D．(－3,1)
答案 AD
解析 由题意知a＋b＝(1,0)或(－1,0)，则a＝(a＋b)－b＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)，或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．故选AD.
12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点
B．若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上
C．若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)
答案 ACD
解析 A中，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))⇒eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))，即eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，所以A正确；
B中，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))⇒eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，则点M在CB的延长线上，所以B错误；
C中，设BC的中点为D，则eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→))，由重心性质可知C成立；
D中，eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))且x＋y＝eq \f(1,2)⇒2eq \(AM,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))且2x＋2y＝1，设eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))且2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2).故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图，直线l上依次有五个点A，B，C，D，E，满足AB＝BC＝CD＝DE，如果把向量eq \(AB,\s\up6(→))作为单位向量e，那么直线上向量eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 －1
解析 由题意得，DA＝3AB，CE＝2AB，可得eq \(DA,\s\up6(→))＝－3eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，故可得eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝－3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＝－e，故直线上向量eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))的坐标为－1.
14．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
答案 －eq \f(5,4)
解析 根据题意知eq \(AB,\s\up6(→))＝(a－1,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－3,4)，eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq \f(5,4).
15．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速率为________ m/s，垂直方向上下降的速率为________ m/s.(本题第一空3分，第二空2分)
答案 eq \f(80\r(3),3) eq \f(40\r(3),3)
解析 设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝eq \f(|v2|,\f(\r(3),2))＝eq \f(80\r(3),3) m/s.
垂直方向上下降的速率为eq \f(|v1|,2)＝eq \f(40\r(3),3) m/s.
16．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 由题意可求得AD＝1，CD＝eq \r(3)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，
因为点E在线段CD上，所以eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋2μeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2μ,λ)eq \(DE,\s\up6(→))，
所以eq \f(2μ,λ)＝1，即λ＝2μ，
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤eq \f(1,2).
即μ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))的中点，且eq \f(DC,AB)＝k(k≠1)．设eq \(AD,\s\up6(→))＝e1，eq \(AB,\s\up6(→))＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))在此基底下的分解式．
解 如图所示，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝e2，且eq \f(DC,AB)＝k，
∴eq \(DC,\s\up6(→))＝keq \(AB,\s\up6(→))＝ke2.
又eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))
＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
∵eq \(MN,\s\up6(→))＋eq \(NB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝－eq \(NB,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(BN,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋e2－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)[e1＋(k－1)e2]＋e2－eq \f(1,2)e1＝eq \f(k＋1,2)e2.
18. (12分)如图，已知F，G分别是四边形ABCD的边BC，CD的中点，H，E分别是DA，AB的靠近A的三等分点．用向量法证明：四边形EFGH是梯形．
证明 因为在△BCD中，G，F分别为CD，CB的中点，
所以eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→)).
所以eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→))－eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))，
同理可得eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→)).
所以eq \(GF,\s\up6(→))∥eq \(HE,\s\up6(→))，且|eq \(CF,\s\up6(→))|≠|eq \(HE,\s\up6(→))|，
又因为G，F，H，E四点不在同一直线上，
所以GF∥HE且GF≠HE，
所以四边形EFGH是梯形．
19．(12分)一条宽为eq \r(3) km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝eq \r(3) km，一艘船在水中的最大航速为4 km/h，问：该船从码头A到码头B怎样安排行船速度可使它最快到达B码头？此时用时多少？
解 如图，eq \(AD,\s\up6(→))表示最大航速，eq \(AC,\s\up6(→))表示水速，以AC，AD为邻边作▱ACED，且使AE与AB重合(eq \(AD,\s\up6(→))方向才能确定)．
由题意知AC⊥AE，
在Rt△AED和▱ACED中，
|eq \(DE,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝4，∠AED＝90°.
∴|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(AD,\s\up6(→))|2－|\(DE,\s\up6(→))|2)＝2eq \r(3)，sin ∠EAD＝eq \f(1,2).
∴∠EAD＝30°，用时eq \f(\r(3),2\r(3))＝eq \f(1,2)(小时)．
∴船的航行速度为4 km/h，与水流成120°角时，能最快到达B码头，用时eq \f(1,2)小时．
20．(12分)已知三点A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又∵eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．
21．(12分)已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线；
(2)当向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解 (1)由题意得，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2x,1)－(x,0)＝(x,1)，
eq \(CD,\s\up6(→))＝(6,2x)－(2，x)＝(4，x)．
若向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，则x2－4×1＝0，故x＝±2.
∴当x＝±2时，向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线．
(2)当x＝2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,1)－(2,0)＝(2,1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,2)－(2,0)＝(0,2)．
∵2×2－0×1≠0，∴向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))不共线，
∴点A，B，C不在一条直线上，
∴点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，A(－2,0)，B(－4,1)，C(2，－2)，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4,1)－(－2,0)＝(－2,1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)－(－2,0)＝(4，－2)．
∵(－2)×(－2)－4×1＝0，
∴向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线，∵AB与AC有公共点A，
∴点A，B，C在一条直线上．
又∵向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，∴AB与CD平行或重合．
又A，B，C在一条直线上，
∴点A，B，C，D在一条直线上．
综上，当x＝2时，向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，但点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，且点A，B，C，D在一条直线上．
22. (12分)如图所示，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE交CD于点P，求△APC的面积．
解 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b为一组基底，
则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(2,3)b，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋b，
∵点A，P，E三点共线，
∴存在实数λ使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＝λa＋eq \f(2,3)λb.
∵点D，P，C三点共线，
∴存在实数μ使eq \(DP,\s\up6(→))＝μeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)μa＋μb.
又∵eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)＋\f(1,3)μ))a＋μb，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)＋\f(1,3)μ，,\f(2,3)λ＝μ))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,7)，,μ＝\f(4,7).))
∴S△PAB＝eq \f(4,7)S△ABC＝14×eq \f(4,7)＝8(cm2)，
S△PBC＝eq \f(1,7)S△ABC＝eq \f(1,7)×14＝2(cm2)，
故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．