数学选择性必修 第一册1.2.4 二面角第1课时学案

这是一份数学选择性必修 第一册1.2.4 二面角第1课时学案，共15页。学案主要包含了二面角的相关概念，几何法求二面角，二面角与面积之间的联系等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.2.掌握求二面角的基本方法步骤.
导语
同学们，大家经常听到把门打开、把课本打开等，门所在的平面与墙所在的平面或课本的任意两页之间自然形成一个角，它们都有一个共同点，那就是都有一个“旋转轴”；因疫情的关系，大家洗手时都养成了一个习惯，那就是五指交叉洗手法，此时两只手掌所在的平面自然形成了四个角；这两类角到底有什么样的区别和联系，这就是我们今天要解决的内容.
一、二面角的相关概念
问题1 二面角与两个平面的夹角有何区别？
提示 ①概念的不同．二面角：是由一条直线出发的两个半平面组成的图形；两个平面的夹角：两个平面相交时，形成四个二面角，其中不小于0°且不大于90°的角称为两个平面的夹角．②范围的不同．二面角θ的范围：0≤θ≤π，两个平面的夹角θ的范围：0≤θ≤eq \f(π,2).
知识梳理
1．二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
2．二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．
3．二面角的范围：[0，π]．
4．两个平面所成的角
两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．
例1 已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A－PC－B的平面角
B．∠AED是二面角A－PB－C的平面角
C．∠DAE是二面角B－PA－C的平面角
D．∠ACB是二面角A－PC－B的平面角
答案 B
解析 因为PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
又AD⊂平面PAC，所以AD⊥BC.
又AD⊥PC，BC∩PC＝C，
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PB.
又AE⊥PB，AD∩AE＝A，
所以PB⊥平面ADE，所以DE⊥PB，
所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．
反思感悟 构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即为二面角的平面角．
跟踪训练1 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
答案 C
解析 当两个平面的开口方向相同时，这两个二面角大小相等，当两个平面的开口方向不同时，这两个二面角大小互补．
二、几何法求二面角
例2 已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝eq \f(\r(3),2)a，则二面角A－BC－D的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝eq \f(\r(3),2)a，
∴∠AED是二面角A－BC－D的平面角．
又∵AD＝eq \f(\r(3),2)a，∴∠AED＝60°，
即二面角A－BC－D的大小为60°.
反思感悟 用定义求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角．
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
(3)解三角形求角．
跟踪训练2 若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq \r(6)，则二面角P－BC－A的大小为________．
答案 90°
解析 取BC的中点O，连接PO，AO，
则∠POA就是二面角P－BC－A的平面角．
又PO＝AO＝eq \r(3)，PA＝eq \r(6)，
所以∠POA＝90°.
三、二面角与面积之间的联系
问题2 如图，△ABC在平面α上的射影为△A′BC，二面角A－BC－A′的大小为θ，则cs θ，S△ABC，S△A′BC之间有什么样的关系？
提示 作AD⊥BC，则A′D为AD在平面α上的射影，由三垂线定理的逆定理可知A′D⊥BC，则∠ADA′＝θ，故有cs θ＝eq \f(A′D,AD)＝eq \f(\f(1,2)BC×A′D,\f(1,2)BC×AD)＝eq \f(S△A′BC,S△ABC).
知识梳理
已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cs θ＝eq \f(S′,S).
例3 已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－AP－C的余弦值．
解 方法一 如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.
因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC.
由三垂线定理有BF⊥PA，
所以∠BFE是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝1，由E是AC的中点，
得BE＝eq \f(\r(3),2)，EF＝eq \f(1,2)sin 45°＝eq \f(\r(2),4)，所以BF＝eq \f(\r(14),4)，
所以cs∠BFE＝eq \f(EF,BF)＝eq \f(\r(7),7).
方法二 (利用射影面积公式)
如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.
因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC，
又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，
所以BE⊥平面PAC，
所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．
设PC＝1，则PA＝PB＝eq \r(2)，AB＝1，
所以在△PAB中，AB边上的高h＝eq \f(\r(7),2)，
所以S△PAB＝eq \f(\r(7),4).
又S△PAE＝eq \f(1,2)S△PAC＝eq \f(1,4).
设二面角B－PA－C的大小为θ，
由射影面积公式有cs θ＝eq \f(S△PAE,S△PAB)＝eq \f(\r(7),7).
反思感悟 对射影面积公式的理解
(1)来源：三垂线定理．
(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出．
(3)优势：不需要作出二面角的平面角．
跟踪训练3 四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(\r(6),3)或eq \f(\r(14),7)
解析 △MPD在平面ABCD上的射影为△ABD，易得S△ABD＝2，
设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为θ，
当M，P在平面ABCD同侧时，S△MPD＝eq \r(6)，
∴cs θ＝eq \f(S△ABD,S△MPD)＝eq \f(\r(6),3)；
当M，P在平面ABCD异侧时，S△MPD＝eq \r(14)，
∴cs θ＝eq \f(S△ABD,S△MPD)＝eq \f(\r(14),7)，
则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)或eq \f(\r(14),7).
1．知识清单：
(1)二面角及其度量．
(2)几何法求二面角．
(3)二面角与面积之间的联系．
2．方法归纳：数形结合、转化、代入法．
3．常见误区：二面角与两个平面的夹角易混淆．
1．如图所示，点P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小为( )
A．60° B．70° C．80° D．90°
答案 D
解析 过AB上一点Q分别在α，β内作AB的垂线，交PM，PN于点M，N，
则∠MQN即为二面角α－AB－β的平面角，如图所示．
设PQ＝a，∵∠QPN＝∠QPM＝45°，
∴QN＝QM＝a，PN＝PM＝eq \r(2)a，
又∵∠MPN＝60°，∴△MPN为等边三角形，
则MN＝eq \r(2)a，
∴QN2＋QM2＝MN2，
∴∠MQN＝90°.
2．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PBC与平面ABCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 B
解析 如图所示，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠PBA为平面PBC与平面ABCD所成角的一个平面角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，
∴△PAB为等腰直角三角形，∴∠PBA＝45°.
3．如图，在正方体ABCD中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别为E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2\r(3),3)
答案 D
解析 截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD，
∴cs 30°＝eq \f(SABCD,SABEF)，∴eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1×1,SABEF)⇒SABEF＝eq \f(2\r(3),3).
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值为________．
答案 eq \r(2)
解析 连接AC交BD于点O，如图所示，
因为OA1⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A1OA即为二面角A1－BD－A的平面角，
在△A1OA中，AA1＝a，AO＝eq \f(\r(2),2)a，
所以二面角A1－BD－A的正切值为eq \r(2).
课时对点练
1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 B
解析 连接AD′(图略)，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，
则AB⊥AD，AB⊥AD′，
则∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，
四边形ADD′A′为正方形，据此可知∠D′AD＝45°，
即二面角D′－AB－D的大小是45°.
2．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 设菱形对角线AC与BD交于O点，则∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，由余弦定理可得cs∠BOD＝eq \f(1,3).
3．如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1上的点，且截面AEFD1的面积为eq \f(\r(3),2)，则截面AEFD1与底面ABCD所成的角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 A
解析 ∵截面AEFD1在底面的射影为直角梯形AECD，
∴设截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角为θ，
∴cs θ＝＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1))×1,\f(\r(3),2))＝eq \f(\f(3,4),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),2).
又0°α B．α>β>γ C．α>γ>β D．γ>α>β
答案 A
解析 设D到A1N，A1M，A1B的距离分别为d1，d2，d3.
因为AD⊥BD，A1是DA的中点，BM＝eq \f(1,2)BN＝eq \f(1,4)BA，
所以d1>d2>d3.
又tan α＝eq \f(CD,d1)，tan β＝eq \f(CD,d2)，tan γ＝eq \f(CD,d3)，所以α