人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程导学案，共10页。学案主要包含了圆的标准方程，点与圆的位置关系，待定系数法求圆的方程等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．
导语
同学们，生活中和圆形有关的事物很多，比如各种球的截面，大多水果的截面，各类硬币，以及同学们圆圆的脸蛋，唐代诗人李白在《古朗月行》中写道“小时不识月，呼作白玉盘，又疑瑶台镜，飞在青云端”，描写了小时候不认识月亮，把月亮比作飞在天空的圆圆的白玉盘或梳妆镜，今天我们就把圆放到坐标系中，看它有没有方程．
一、圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
确定圆的因素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
问题2 已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示 设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq \r(x－a2＋y－b2)＝r，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
知识梳理
1．定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合称为圆，其中定点是圆心，定长为半径．
2．标准方程：在平面直角坐标系中，以C(a，b)为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
注意点：(1)圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
(2)单位圆：x2＋y2＝1.
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但圆的半径不变．
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
答案 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________．
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(5＋32＋5＋12)＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
解 (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
问题3 点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？
提示 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
知识梳理
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
例2 (1)已知a，b是方程x2－x－eq \r(2)＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A．点P在圆C内 B．点P在圆C外
C．点P在圆C上 D．无法确定
答案 A
解析 由题意，得a＋b＝1，ab＝－eq \r(2)，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq \r(2)1，
解得a－2.
反思感悟 判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
跟踪训练2 已知点M(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
答案 [0,1)
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,5\r(a)＋1－12＋\r(a)2