高中人教B版 (2019)1.2.1 空间中的点、直线与空间向量第2课时学案

这是一份高中人教B版 (2019)1.2.1 空间中的点、直线与空间向量第2课时学案，共16页。学案主要包含了空间中两条直线所成的角，异面直线与空间向量等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，生活中，我们经常听到换个角度思考问题，尤其是在解决我们数学问题时，对于相同的问题，因对角度的理解不同，会导致不同的结果，从而启发我们，看问题要全面，透过现象看本质，只有从正确的角度出发，让视野开阔，才能得出我们想要的答案．
一、空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系
问题1 空间中两直线所成的角与它们的方向向量之间的夹角相等吗？
提示 不相等；两向量夹角的范围是[0，π]，而两直线所成的角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
知识梳理
空间中两条直线所成的角
v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.
如图，则①θ的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．
③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cs θ＝|cs〈v1，v2〉|.
④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝eq \f(π,2)⇔v1·v2＝0.
例1 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－eq \f(2,5) B.eq \f(2,5) C．－eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 B
解析 设l1与l2的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈a，b〉|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)＝eq \f(|－4|,\r(5)×\r(20))＝eq \f(2,5).
反思感悟 一般地，设两直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为a，b，则有cs θ＝|cs〈a，b〉|＝eq \f(|a·b|,|a||b|).若求正弦值，则利用平方关系即可，sin θ＝eq \r(1－cs2θ).
跟踪训练1 若异面直线l1，l2的方向向量的夹角为120°，则异面直线l1与l2所成的角等于________．
答案 60°
二、空间中两条直线所成的角(向量法、坐标法、几何法)
例2 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角．
解 方法一 (向量法)
设正方体的棱长为1，取{eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(—→))}为空间向量的一组基底，
则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))－eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→)))－(eq \(DD1,\s\up6(—→))＋eq \(D1E,\s\up6(—→)))＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(DD1,\s\up6(—→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(DC,\s\up6(→))－\f(1,2)\(DD1,\s\up6(—→))))·eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)，
|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(DC,\s\up6(→))－\f(1,2)\(DD1,\s\up6(—→))))2)＝eq \f(\r(2),2)，|eq \(DC,\s\up6(→))|＝1，
所以cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(2),2)×1)＝－eq \f(\r(2),2)，
因为两直线夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
故直线EF与直线CD所成的角是45°.
方法二 (坐标法)
以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0)，
∴cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(DC,\s\up6(→))|)＝－eq \f(\r(2),2)，
∴〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝135°，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.
方法三 (几何法)
设正方体的棱长为1，连接A1D，DC1(图略)，
则F在线段A1D上且是线段A1D的中点，
又因为E为A1C1的中点，
故EF是△A1DC1的中位线，
故有EF∥DC1，则∠CDC1即为直线EF与直线CD所成的角，
在Rt△CDC1中，CD＝CC1＝1，DC1＝eq \r(2)，
即Rt△CDC1为等腰直角三角形，
所以∠CDC1＝45°，
故直线EF与直线CD所成的角是45°.
反思感悟 (1)向量所成角与空间直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而空间直线所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故空间直线所成角的余弦值一定大于或等于0.
(2)求空间直线所成角的三种方法
①几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角．
②基底法：确定一个基底，用基底表示两直线的方向向量．
③坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量．
跟踪训练2 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．
解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C1(0，4，2)，A1(2，0，2)，
∴E(1，2，2)，F(1，4，1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(－1，4，1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－1，－2，2)，
∴|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，|eq \(BE,\s\up6(→))|＝eq \r(9)＝3，eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝1－8＋2＝－5，
∴cs〈eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))〉＝eq \f(－5,3\r(2)×3)＝－eq \f(5\r(2),18).
∵异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
设AF与BE所成角为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))〉|＝eq \f(5\r(2),18).
即异面直线AF与BE所成角的余弦值为eq \f(5\r(2),18).
三、异面直线与空间向量
问题2 如果空间两直线没有交点，这两条直线一定平行吗？
提示 不一定，根据直线的分类，我们把空间直线分为共面直线和异面直线，共面直线包括平行直线和相交直线，而异面直线说的是这两条直线不同在一个平面内．
知识梳理
异面直线与空间向量
1．异面直线的判定
如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2，eq \(AB,\s\up6(→))是不共面的；反之，如果v1，v2，eq \(AB,\s\up6(→))不共面，则l1与l2是异面的．也就是说，此时“v1，v2，eq \(AB,\s\up6(→))不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
2．异面直线间的距离
一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
例3 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线的距离．
解 如图，以AC中点O为原点，以OA，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系Oxyz.
B(0，eq \r(3)，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，B1(0，eq \r(3)，2)．
假设MN为BA1与CB1的公垂线，
即∃M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，
令eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BA1,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝veq \(CB1,\s\up6(→))，eq \(BA1,\s\up6(→))＝(1，－eq \r(3)，2)，eq \(CB1,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)，2)．
设M(x1，y1，z1)，∴eq \(BM,\s\up6(→))＝(x1，y1－eq \r(3)，z1)，
∴(x1，y1－eq \r(3)，z1)＝λ(1，－eq \r(3)，2)，
∴x1＝λ，y1＝－eq \r(3)λ＋eq \r(3)，z1＝2λ，
即点M(λ，－eq \r(3)λ＋eq \r(3)，2λ)，
同理可求得点N(v－1，eq \r(3)v，2v)，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(v－λ－1，eq \r(3)v＋eq \r(3)λ－eq \r(3)，2v－2λ)．
又MN⊥BA1，MN⊥CB1，∴eq \(MN,\s\up6(→))⊥eq \(BA1,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))⊥eq \(CB1,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(v－λ－1－\r(3)\r(3)v＋\r(3)λ－\r(3)＋22v－2λ＝0，,v－λ－1＋\r(3)\r(3)v＋\r(3)λ－\r(3)＋22v－2λ＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(v＝\f(3,5)，,λ＝\f(2,5).))∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，0，\f(2,5)))，
∴|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2)＝eq \f(2\r(5),5).
故在BA1与CB1上存在点M，N，当BM＝eq \f(2,5)BA1，CN＝eq \f(3,5)CB1时，MN为BA1与CB1的公垂线且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为eq \f(2\r(5),5).
反思感悟 两条异面直线的公垂线有且仅有一条．即一条直线与两异面直线都相交且垂直，利用几何知识很难找到．利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单．求解时要注意先建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能找到M，N.
跟踪训练3 已知三棱锥S－ABC中，SA＝BC＝13，SB＝AC＝14，SC＝AB＝15，求异面直线AS与BC的距离．
解 构造如图所示的长方体，使得长方体中三个相邻矩形的对角线长分别为13，14，15.
设AD＝x，BD＝y，SD＝z，
则x2＋y2＝AB2，y2＋z2＝SB2，x2＋z2＝SA2，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝225，,y2＋z2＝196，,x2＋z2＝169，))
因为x>0，y>0，z>0，故解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3\r(11)，,y＝3\r(14)，,z＝\r(70)，))
即AD＝3eq \r(11)，BD＝3eq \r(14)，SD＝eq \r(70).
由长方体性质，可知BD⊥平面ADSF，BD⊥平面BGCE，平面ADSF∥平面BGCE，
则BD为平面ADSF和平面BGCE之间的距离，
又AS⊂平面ADSF，BC⊂平面BGCE，
则BD的长度就是异面直线AS与BC的距离，
即异面直线AS与BC的距离为3eq \r(14).
1．知识清单：
(1)空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系．
(2)两异面直线的公垂线．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角之间的关系易混淆．
1．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(5\r(22),66) B．－eq \f(5\r(22),66) C.eq \f(5\r(22),22) D．－eq \f(5\r(22),22)
答案 A
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3，－3)，
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(5,3×\r(22))＝eq \f(5\r(22),66)，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为eq \f(5\r(22),66).
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
答案 D
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，
则eq \(A1M,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，－1))，eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，
cs〈eq \(A1M,\s\up6(—→))，eq \(DN,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1M,\s\up6(—→))·\(DN,\s\up6(→)),|\(A1M,\s\up6(—→))||\(DN,\s\up6(→))|)＝0.
∴〈eq \(A1M,\s\up6(—→))，eq \(DN,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,2).
3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直
答案 C
解析 建立坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，
eq \(NO,\s\up6(→))＝(－1，0，－2)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2，0，1)，eq \(NO,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝0，
则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．
4．已知两条空间直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝________.
答案 60°或120°
解析 由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知，〈a，b〉＝60°或120°.
课时对点练
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2的夹角为( )
A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均不对
答案 A
解析 根据异面直线所成角的定义即知l1，l2所成角为30°.
2．(多选)若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b夹角的余弦值为eq \f(8,9)，则λ等于( )
A．2 B．－2 C.eq \f(2,55) D．－eq \f(2,55)
答案 BC
解析 a·b＝2－λ＋4＝6－λ，
|a|＝eq \r(5＋λ2)，|b|＝3，
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(6－λ,\r(5＋λ2)·3)＝eq \f(8,9).
55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝eq \f(2,55).
3．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,14) B.eq \f(\r(2),14) C.eq \f(\r(3),14) D.eq \f(1,7)
答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，
则A1(3，0，0)，B(3，3，3)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0，\f(3,2)))，F(0，1，0)，
所以eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(0，3，3)，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，1，－\f(3,2)))，
所以|cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(A1B,\s\up6(—→))·\(EF,\s\up6(→))|,|\(A1B,\s\up6(—→))|·|\(EF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\f(9,2))),3\r(2)×\f(7,2))＝eq \f(\r(2),14).
4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(\r(30),10) D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝1，则B(0，1，0)，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，A(1，0，0)，N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1)).故eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，1))，
所以cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(AN,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))||\(AN,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,4),\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(30),10).
5．在正四棱锥P－ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为eq \r(2)，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,12)
答案 B
解析 不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为O，
连接PO，则PO⊥平面ABCD，
取BC的中点E，连接OE，PE，则OE⊥BC，PE⊥BC，
所以∠PEO为侧面PBC与底面ABCD所成的角，
即tan∠PEO＝eq \r(2)，OE＝1，所以PO＝eq \r(2)，
取底面正方形的中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，eq \r(2))，
则M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，
所以eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)，\f(\r(2),2))).
设DM与AN所成的角为θ，则cs θ＝eq \f(|\(DM,\s\up6(→))·\(AN,\s\up6(→))|,|\(DM,\s\up6(→))||\(AN,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,6).
6．(多选)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是( )
A．GH与EF平行
B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角
D．DE与MN垂直
答案 BCD
解析 如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，A不正确；
BD与MN为异面直线，B正确；
GH∥AD，MN∥AF，而∠DAF＝60°，∴∠GHM＝60°，∴GH与MN成60°角，C正确；
连接AG，FG，AG⊥DE，FG⊥DE，
∴DE⊥平面AFG，∴DE⊥AF，
又MN∥AF，∴DE与MN垂直，D正确．
7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为________．
答案 60°
解析 由题意，知eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))分别为直线a，b的方向向量，
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))，
即2×1×cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝1，所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)，
即〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°，得a与b所成的角是60°.
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
答案 60°
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴M(1，2，0)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)．
设异面直线AC和MN所成的角为θ，
则cs θ＝eq \f(|\(MN,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))|,|\(MN,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴θ＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.
9．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长．
解 (1)如图，以O为原点，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OO1,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．
由题设，知A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0)，
所以eq \(AO1,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，eq \(B1E,\s\up6(—→))＝(－1，0，－2)，
因此cs〈eq \(AO1,\s\up6(→))，eq \(B1E,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(AO1,\s\up6(→))·\(B1E,\s\up6(—→)),|\(AO1,\s\up6(→))||\(B1E,\s\up6(—→))|)＝eq \f(－2,2\r(2)×\r(5))＝－eq \f(\r(10),10).
故异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
(2)由题意得eq \(O1D,\s\up6(—→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)).
因为C(0，3，0)，设D(x，y，0)，
所以eq \(O1D,\s\up6(—→))＝(x，y，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y，0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，3，0)，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13)，))
所以eq \(O1D,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,13)，\f(12,13)，－2)).
故|eq \(O1D,\s\up6(—→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,13)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2＋－22)＝eq \f(2\r(286),13).
10．已知圆柱的底面半径为3，高为4，A，B两点分别在两底面圆周上，并且AB＝5，求异面直线AB与轴OO′之间的距离．
解 如图，直线AB与轴OO′之间的距离等于轴OO′与平面ABC的距离，
由图形可知，直线AB与轴OO′之间的距离等于O′到BC的距离，∵AB＝5，AC＝4，且AC⊥BC，∴BC＝eq \r(52－42)＝3，∴异面直线AB与轴OO′之间的距离为eq \f(3\r(3),2).
11．如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(10),5) B.－eq \f(\r(10),5) C.－eq \f(\r(10),10) D.eq \f(\r(10),10)
答案 A
解析 不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，eq \(SA,\s\up6(→))，eq \(SB,\s\up6(→))，eq \(SC,\s\up6(→))所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，S(0，0，0)，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2))).
因为eq \(SM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，\f(1,2)))，
所以|eq \(SM,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(1,2))，|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(5,4))，eq \(SM,\s\up6(→))·eq \(BN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)，
cs〈eq \(SM,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(SM,\s\up6(→))·\(BN,\s\up6(→)),|\(SM,\s\up6(→))||\(BN,\s\up6(→))|)＝－eq \f(\r(10),5)，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为eq \f(\r(10),5).
12．已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(2),8)
答案 C
解析 eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，且eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))－\(OB,\s\up6(→))))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,4)，
∴cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\f(1,4),\f(\r(3),2)×1)＝－eq \f(\r(3),6)，
故异面直线BD与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(3),6).
13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝eq \f(2,3)A1D，AF＝eq \f(1,3)AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为3，
则E(1，0，1)，F(2，1，0)，A1(3，0，3)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－3，3，0)，eq \(A1D,\s\up6(—→))＝(－3，0，－3)，
∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(A1D,\s\up6(—→))＝0，
∴EF⊥AC，EF⊥A1D.
eq \(BD1,\s\up6(→))＝(－3，－3，3)，
∴eq \(BD1,\s\up6(→))＝－3eq \(EF,\s\up6(→))，
∴BD1∥EF.
14．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 构造如图所示的正方体，取AB的中点O，连接OD交AC于点E，连接OM交SB于点F，
由平面几何知识可知，
OF＝eq \f(1,3)OM，OE＝eq \f(1,3)OD，所以EF∥DM.
又因为AC⊥BD，AC⊥BM，
所以AC⊥平面BDM，AC⊥DM，
因为EF∥DM，所以AC⊥EF.
同理可证SB⊥DM，所以SB⊥EF，
所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段，
所以EF＝eq \f(1,3)DM＝eq \f(\r(3),3).
15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
答案 A
解析 以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(—→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
设DA＝2，
则F(1，0，0)，E(0，0，1)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝(1，0，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，eq \(CA1,\s\up6(→))＝(2，－2，2)．
设eq \(CM,\s\up6(→))＝λeq \(CA1,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，
则eq \(CM,\s\up6(→))＝(2λ，－2λ，2λ)，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝(2λ－2，－2λ，2λ)，
则cs θ＝|cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉|，
即cs θ＝eq \f(2,\r(2)\r(2λ－22＋8λ2))＝eq \f(1,\r(2)\r(3λ2－2λ＋1))＝eq \f(1,\r(2)·\r(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,3)))2＋\f(2,3)))(0≤λ≤1)，
当λ＝eq \f(1,3)时，cs θ取到最大值eq \f(\r(3),2)，
当λ＝1时，cs θ取到最小值eq \f(1,2)，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以θ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))).
16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＝2，在棱AB上是否存在一点E使得异面直线AD1与EC所成的角为60°？若存在，求出点E的位置；若不存在，说明理由．
解 存在点E.以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E(1，t，0)(0则A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，
eq \(D1A,\s\up6(—→))＝(1，0，－1)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(1，t－2，0)，
根据数量积的定义及已知得1＋0×(t－2)＋0＝eq \r(2)×eq \r(1＋t－22)·cs 60°，
所以t＝1，所以E在AB的中点处．