高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.2 空间中的平面与空间向量第1课时学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.2 空间中的平面与空间向量第1课时学案设计，共13页。学案主要包含了平面法向量的概念及性质，利用法向量证明线面平行与垂直，求平面的法向量等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直.
导语
同学们，前面我们学习直线的方向向量，我们发现，有了直线的方向向量，极大地方便了我们判断与证明空间直线的位置关系以及求两直线的夹角，但空间还有很多和平面有关的位置关系，还记得我们当初用几何法求二面角的时候，我们需要费尽九牛二虎之力构造二面角的平面角，如果说能用空间向量来表示空间平面，这个问题是不是更容易一些，让我们先来看一下如何用空间向量表示空间平面．
一、平面法向量的概念及性质
问题1 设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件eq \(AM,\s\up6(→))·n＝0的点M的集合构成什么图形？
提示 如图．
容易看出，如果任取两点M1，M2(M1，M2和A三点不共线)，且eq \(AM1,\s\up6(→))·n＝0，eq \(AM2,\s\up6(→))·n＝0，则n⊥α，由直线与平面垂直的判定定理可知，在平面α内的任一点都满足eq \(AM,\s\up6(→))·n＝0，又知满足条件eq \(AM,\s\up6(→))·n＝0的所有点M都在平面α内，这就说明，我们可以用eq \(AM,\s\up6(→))·n＝0表述通过空间内任一点并且与一个向量垂直的平面，我们把eq \(AM,\s\up6(→))·n＝0通常称为一个平面的向量表示式，其中把非零向量n称为平面α的法向量．
知识梳理
平面的法向量
定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行．
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量eq \(AB,\s\up6(→))一定与向量n垂直，即eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
例1 下列说法中不正确的是( )
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
答案 D
解析 选项A，B，C显然是正确的．只有当a，b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．
反思感悟 明确平面的法向量与平面垂直这一重要特征，平面的法向量不唯一且非零．
跟踪训练1 设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件eq \(AM,\s\up6(→))·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆 B．直线
C．平面 D．线段
答案 C
解析 ∵A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件eq \(AM,\s\up6(→))·n＝0，∴M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面．
二、利用法向量证明线面平行与垂直
问题2 请同学们写出线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理．
提示 线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
知识梳理
1．直线与平面平行、垂直的判定
v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则
2．两平面平行、垂直的判定
n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则
例2 (1)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交
答案 C
解析 ∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，∴a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，即l⊂α或l∥α.
(2)若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则( )
A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交
答案 B
解析 由a＝(－1，0，－2)，u＝(4，0，8)，则u＝－4a，所以u∥a，则l⊥α.
反思感悟 用向量证明线面平行需检验该直线是否是平面内的直线，若不在平面内，则线面平行，若在平面内，则不能判断为平行；若直线与平面垂直，则直线的方向向量可以作为平面的法向量．
跟踪训练2 (1)若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α∥β，则x的值为( )
A．10 B．－10 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为α∥β，a，b共线，故eq \f(x,－1)＝eq \f(－1,2)＝eq \f(－2,4)，故x＝eq \f(1,2).
(2)若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(1,2)))，则平面β的法向量可以是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，\f(1,4))) B．(2，－1，0)
C．(1，2，0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，2))
答案 C
解析 ∵平面α⊥β，∴平面α的一个法向量与平面β的法向量垂直，即它们的数量积为0.对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，\f(1,4)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(1,2)))＝2＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,8)≠0，故A错误；对于B，(2，－1，0)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(1,2)))＝－4－1＋0＝－5≠0，故B错误；对于C，(1，2，0)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(1,2)))＝－2＋2＋0＝0，故C正确；对于D，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(1,2)))＝－1＋1＋1＝1≠0，故D错误．
三、求平面的法向量
问题3 如何求平面的法向量？
提示 一般地，如果题目中有已知的线面垂直关系，则该直线的方向向量即为平面的法向量；否则要利用待定系数法求平面的法向量．
知识梳理
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→)).
(3)列方程组：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0))列出方程组．
(4)解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0.))
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
注意点：赋值时应尽可能保证法向量的三个坐标都为整数，若含有根式，则尽可能不出现在分母．
例3 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
解 以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴eq \(AS,\s\up6(→))＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面ABS，∴AD⊥平面SAB，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，eq \(SC,\s\up6(→))＝(1，1，－1)．
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥eq \(DC,\s\up6(→))，n⊥eq \(SC,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up6(→))＝0，,n·\(SC,\s\up6(→))＝0，))
得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y＝0，,x＋y－z＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2y，,z＝－y，))
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1，1)．
∴n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一)．
反思感悟 求平面的一个法向量的方法
(1)平面垂线的方向向量法，证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求．
(2)待定系数法求平面的法向量．
跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝eq \r(3)，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则D(0，eq \r(3)，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，B(1，0，0)，C(1，eq \r(3)，0)，
于是eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(3)y＝0，,\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\r(3)y，,z＝－\r(3)y，))
令y＝－1，则x＝z＝eq \r(3).
所以平面ACE的一个法向量为n＝(eq \r(3)，－1，eq \r(3))．
(答案不唯一)．
1．知识清单：
(1)平面法向量的概念及性质．
(2)利用法向量判断线面、面面平行与垂直的关系．
(3)求平面的法向量．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：正确的赋值求平面的法向量是解决问题的关键．
1．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
答案 B
解析 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量eq \(PA,\s\up6(→))与平面α的法向量n是否垂直，
即eq \(PA,\s\up6(→))·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．
对于选项A，eq \(PA,\s\up6(→))＝(1，0，1)，
则eq \(PA,\s\up6(→))·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))，
则eq \(PA,\s\up6(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))·(3，1，2)＝0，故B正确；
同理可排除C，D.
2．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，则m等于( )
A．－4 B．－6 C．－8 D．8
答案 C
解析 ∵l∥α，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，
∴(2，m，1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))＝0，即2＋eq \f(1,2)m＋2＝0，∴m＝－8.
3．已知平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β，则x＋y的值为( )
A．－8 B．－4 C．4 D．8
答案 A
解析 因为平面α，β的法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β，
所以a·b＝0，即－x－y－8＝0，
则x＋y＝－8.
4．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面D1EF的一个法向量是________．
答案 (－6，3，2)
解析 ∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点，
则D1(0，0，3)，E(1，4，0)，F(0，2，0)，
eq \(D1E,\s\up6(—→))＝(1，4，－3)，eq \(D1F,\s\up6(—→))＝(0，2，－3)，
设平面D1EF的一个法向量是n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(D1E,\s\up6(—→))＝x＋4y－3z＝0，,n·\(D1F,\s\up6(—→))＝2y－3z＝0，))
取y＝3，得n＝(－6，3，2)，
则平面D1EF的一个法向量是(－6，3，2)．
课时对点练
1．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4)
答案 A
解析 设平面α内一点P(x，y，z)，
则eq \(MP,\s\up6(→))＝(x－1，y＋1，z－2)，∴n⊥eq \(MP,\s\up6(→))，
由n·eq \(MP,\s\up6(→))＝0得6x－3y＋6z－21＝0，
∴2x－y＋2z＝7.
把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合．
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,3)，－1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，3))，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
答案 D
解析 因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．
3．已知平面α的一个法向量是n＝(1，1，1)，A(2，3，1)，B(1，3，2)，则直线AB与平面α的关系是( )
A．AB∥α B．AB⊥α
C．AB⊄α D．AB∥α或AB⊂α
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，∴eq \(AB,\s\up6(→))·n＝(－1)×1＋0×1＋1×1＝0，
∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥n，∴AB∥α或AB⊂α.
4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是( )
A．平行 B．垂直
C．在平面内 D．相交但不垂直
答案 B
解析 因为eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
所以AP⊥AD，AP⊥AB，
又因为AB∩AD＝A，
所以PA⊥平面ABCD.
5．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(5,8)))是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z等于( )
A．2∶3∶(－4) B．1∶1∶1
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))∶1∶1 D．3∶2∶4
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，－\f(7,4)))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－3，2，0)，
因为平面α的法向量为a＝(x，y，z)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·\(AB,\s\up6(→))＝x－3y－\f(7,4)z＝0，,a·\(BC,\s\up6(→))＝－3x＋2y＝0，))
取y＝3，则x＝2，z＝－4.
所以x∶y∶z＝2∶3∶(－4)．
6．(多选)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)，－\f(1,2))) B．(－2，－3，1)
C．(4，－6，2) D．(－2，3，－1)
答案 ACD
解析 ∵n为平面α的法向量，
∴λn(λ≠0)也是平面α的法向量，
即与n共线的非零向量都是α的法向量．
由共线定理知，A，C，D中的向量都与n共线，
故能作为法向量．
7．若直线l的方向向量为a＝(2，1，m)，平面α的法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，且l⊥α，则m的值为________．
答案 4
解析 由已知l⊥α，得a∥n，所以m＝4.
8．若a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，2y－1，－\f(1,4)))是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)，－2))均与平面α平行，则向量a＝________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,52)，\f(1,26)，－\f(1,4)))
解析 由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝0，,a·c＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋4y－\f(9,4)＝0，,3x＋y＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(9,52)，,y＝\f(27,52)，))
所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,52)，\f(1,26)，－\f(1,4))).
9．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝eq \r(3).
试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量．
解 易知，AB，AD，AA1两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，C(eq \r(3)，1，0)，D1(0，3，3)．
eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0，3，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，0)，
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋y＝0，,3y＋3z＝0.))
令x＝1，则n＝(1，－eq \r(3)，eq \r(3))．
所以平面ACD1的一个法向量为(1，－eq \r(3)，eq \r(3))．
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，CD的中点．求证：eq \(D1F,\s\up6(—→))为平面ADE的一个法向量．
证明 由题意，以点D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，2，1)，D1(0，0，2)，F(0，1，0)，
可得eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，2，1)，eq \(DA,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq \(D1F,\s\up6(—→))＝(0，1，－2)，
所以eq \(D1F,\s\up6(—→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝2－2＝0，eq \(D1F,\s\up6(—→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝0，
所以D1F⊥DE，D1F⊥DA，且DE⊂平面ADE，DA⊂平面ADE，DE∩DA＝D，所以D1F⊥平面ADE，
所以eq \(D1F,\s\up6(—→))为平面ADE的一个法向量．
11．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为( )
A．AB⊥α B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α
答案 D
解析 因为n·eq \(AB,\s\up6(→))＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥eq \(AB,\s\up6(→)).
又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，
所以AB∥α.
12．若平面α∥β，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )
A．n1＝(1，2，3)，n2＝(－3，2，1)
B．n1＝(1，2，2)，n2＝(－2，2，1)
C．n1＝(1，1，1)，n2＝(－2，2，1)
D．n1＝(1，1，1)，n2＝(－2，－2，－2)
答案 D
解析 因为平面α∥β，
所以两个平面的法向量应该平行，
只有D项符合．
13．设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
答案 垂直
解析 因为a＝(－1，2，－4)，b＝(2，3，1)，
所以a·b＝－2＋6－4＝0，所以a⊥b，
因为平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，
所以α⊥β.
14．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝eq \r(21)，则n的坐标为________________．
答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)
解析 据题意，得eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，0，2)．
设n＝(x，y，z)，
∵n与平面ABC垂直，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－y＋2z＝0，,x＋2z＝0，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(y,2)，,z＝\f(y,4).))
∵|n|＝eq \r(21)，
∴eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r(21)，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1)．
15．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵m·n＝0，
即m⊥n，不一定有l∥α，也可能l⊂α，
∴“m·n＝0”是“l∥α”的不充分条件．
∵l∥α，可以推出m⊥n，
∴“m·n＝0”是“l∥α”的必要条件，
综上所述，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件．
16．已知A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)证明：向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行．
(1)解 因为A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝－2x－y＋3z＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝x－3y＋2z＝0，))
所以x＝y＝z，不妨令x＝1，
则n＝(1，1，1)，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)．
(2)证明 若存在实数m，n，使a＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，
即(3，－4，1)＝m(－2，－1，3)＋n(1，－3，2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2m＋n＝3，,－m－3n＝－4，,3m＋2n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(5,7)，,n＝\f(11,7)，))
所以a＝－eq \f(5,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(11,7)eq \(AC,\s\up6(→))，
即向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行．n∥v⇔l⊥α；
n⊥v⇔l∥α，或l⊂α.
n1⊥n2⇔α1⊥α2；
n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合.