高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试学案，共12页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．直线3x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．120° D．135°
答案 B
解析 直线的斜率为eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，对应的倾斜角为60°.
2．“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝－1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”，可得(a－3)a＝a＋5，即a＝－1或a＝5(此时两直线重合，故舍去)，即a＝－1成立；若a＝－1，则两条直线分别为x－y＋1＝0，x－y＋4＝0，故两直线平行成立．综上可得，“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝－1”的充要条件．
3．圆(x－3)2＋(y－4)2＝1上一点到原点的距离的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3,4)，半径为1，
圆心到原点的距离为eq \r(32＋42)＝5，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为5＋1＝6.
4．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \(AO1,\s\up6(—→))，eq \(AO2,\s\up6(—→))，eq \(AO3,\s\up6(—→))}为基底，eq \(AC′,\s\up6(—→))＝xeq \(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \(AO3,\s\up6(—→))，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq \f(1,2)
C．x＝y＝z＝eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2
答案 A
解析 eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB′,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(AD′,\s\up6(—→))＝eq \(AO1,\s\up6(—→))＋eq \(AO2,\s\up6(—→))＋eq \(AO3,\s\up6(—→))，
对比eq \(AC′,\s\up6(—→))＝xeq \(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \(AO3,\s\up6(—→))，可得x＝y＝z＝1.
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 C
解析 如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B1(0,0,2)，B(0,0,0)，C1(0,1,2)，
eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(－1,0,2)，eq \(BC1,\s\up6(—→))＝(0,1,2)，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则
cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(—→))·\(BC1,\s\up6(—→))|,|\(AB1,\s\up6(—→))|·|\(BC1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(4,\r(5)·\r(5))＝eq \f(4,5).
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为eq \f(4,5).
6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(6),3)
答案 C
解析 建立空间直角坐标系如图，则C(1,1,0)，C1(1,1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，
所以eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，－1))，
eq \(CC1,\s\up6(—→))＝(0,0,1)，
所以eq \(CC1,\s\up6(—→))在eq \(EC,\s\up6(→))上的投影的数量为
eq \f(\(CC1,\s\up6(—→))·\(EC,\s\up6(→)),|\(EC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－1,\r(1＋\f(1,4)＋1))＝－eq \f(2,3)，
所以点C1到直线EC的距离
d＝eq \r(|\(CC1,\s\up6(—→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(CC1,\s\up6(—→))·\(EC,\s\up6(→)),|\(EC,\s\up6(→))|)))2)＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3).
7．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>1)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
答案 A
解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)＝1，,\f(y1＋y2,2)＝－1，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝－2.))
若直线AB⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合题意．
所以直线AB的斜率存在，且kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，
直线OM的斜率为kOM＝eq \f(\f(y1＋y2,2)－0,\f(x1＋x2,2)－0)＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－1，
由于A，B两点都在椭圆E上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
两式作差得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0，所以eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),x\\al(2,1)－x\\al(2,2))＝－eq \f(b2,a2)，
因为kAB＝kFM＝eq \f(0＋1,3－1)＝eq \f(1,2)，
所以kABkOM＝eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),x\\al(2,1)－x\\al(2,2))＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)＝\f(1,2)，,c2＝a2－b2＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝18，,b2＝9，))
因此椭圆E的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
8．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线与抛物线y2＝－8ax的准线的一个公共点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \r(3) D.eq \f(3,2)
答案 D
解析 抛物线y2＝－8ax的准线为x＝2a，则不妨取P(2a，eq \r(3)b)，∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，而4a2＝|PF2|2＝(2a－c)2＋(eq \r(3)b)2＝4a2－4ac＋c2＋3(c2－a2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．(eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(A1B1,\s\up6(—→)))2＝3(eq \(A1B1,\s\up6(—→)))2
B.eq \(A1C,\s\up6(—→))·(eq \(A1B1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→)))＝0
C．向量eq \(AD1,\s\up6(—→))与向量eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))|
答案 AB
解析 由向量的加法得到：eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝eq \(A1C,\s\up6(—→))，∵A1C2＝3A1Beq \\al(2,1)，∴(eq \(A1C,\s\up6(—→)))2＝3(eq \(A1B1,\s\up6(—→)))2，∴A正确；∵eq \(A1B1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))＝eq \(AB1,\s\up6(—→))，AB1⊥A1C，∴eq \(A1C,\s\up6(—→))·eq \(AB1,\s\up6(—→))＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量eq \(AD1,\s\up6(—→))与向量eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))＝0，故|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))|＝0，因此D不正确．
10．已知曲线C的方程为eq \f(x2,k2－1)－eq \f(y2,3－k)＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．当k＝4时，曲线C为椭圆，其焦距为8
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为eq \f(2\r(3),3)
C．存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．不存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的椭圆
答案 BD
解析 当k＝4时，曲线C的方程为eq \f(x2,15)＋y2＝1，故曲线C为椭圆，其焦距为2eq \r(15－1)＝2eq \r(14)，故A错误；当k＝2时，曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1，故曲线C为双曲线，此时a＝eq \r(3)，b＝1，所以c＝2，故离心率为e＝eq \f(2\r(3),3)，故B正确；若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2－1<0，,3－k<0，))无解，故C错误；若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2－1>0，,3－k<0，,k2－111．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k可以取的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 AB
解析 x2＋y2－4x＝0，所以(x－2)2＋y2＝4，过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P，圆心C，两切点构成正方形，|PC|＝2eq \r(2)，即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上，圆心到直线的距离d＝eq \f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，计算得到－2eq \r(2)≤k≤2eq \r(2).
12．设动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1上(含内部)，且eq \(D1P,\s\up6(—→))＝λeq \(D1B,\s\up6(—→))，当∠APC为锐角时，实数λ可能的取值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
答案 CD
解析 由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0，1)，
由eq \(D1B,\s\up6(—→))＝(1,1，－1)，得eq \(D1P,\s\up6(—→))＝(λ，λ，－λ)，
又eq \(D1A,\s\up6(—→))＝(1,0，－1)，eq \(D1C,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(D1A,\s\up6(—→))－eq \(D1P,\s\up6(—→))＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，
eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(D1C,\s\up6(—→))－eq \(D1P,\s\up6(—→))＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，
所以∠APC为锐角等价于cs∠APC>0，
则等价于eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))>0，
即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2
＝(λ－1)(3λ－1)>0，
又由0≤λ≤1，解得0≤λ因此，λ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))).故选CD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知直线y＝2x＋2，那么该直线的单位方向向量d＝________.
答案 ±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))
解析 取直线的方向向量a＝±(1,2)．
∴该直线的单位方向向量d＝eq \f(a,|a|)＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))).
14．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为________，若△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则m的值为________．
答案 2 ±1
解析 直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0,2)，r＝eq \r(2)，圆心C到直线的距离d≤|CM|＝1，∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)≥2，
即弦长|AB|的最小值为2.
S△ABC＝eq \f(1,2)r2sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2)，即∠ACB＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
若∠ACB＝eq \f(π,3)，则圆心到弦AB的距离为eq \f(\r(6),2)>1＝|CM|，故不符合题意；
若∠ACB＝eq \f(2π,3)，圆心到直线的距离为eq \f(\r(2),2)<1＝|CM|，
设弦AB的中点为N，又|CM|＝1，故∠NCM＝eq \f(π,4)，
则m的值为±1.
15．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是________．
答案 30°
解析 如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，从而eq \(CA,\s\up6(→))＝(2a,0,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \(CB,\s\up6(→))＝(a，a,0)．
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CA,\s\up6(→))＝0，,n·\(AP,\s\up6(→))＝0，))可得n＝(0,1,1)，
则cs〈n，eq \(CB,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(CB,\s\up6(→)),|n|·|\(CB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.
16．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得|PO|＝eq \f(1,2)|F1F2|，则椭圆C的离心率的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
解析 由P落在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，则b≤|PO|≤a.
又|PO|＝eq \f(1,2)|F1F2|，得|PO|＝c，∴b≤c由b≤c得，b2≤c2，即a2－c2≤c2，
解得e＝eq \f(c,a)≥eq \f(\r(2),2)，
又e<1，∴eq \f(\r(2),2)≤e<1.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设直线l：3x＋4y－19＋λ(2x＋y－6)＝0(λ∈R)．
(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
(1)证明 因为l：3x＋4y－19＋λ(2x＋y－6)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－19＝0，,2x＋y－6＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4，))
则定点M(1,4)．
(2)解 因为直线l在两坐标轴上的截距相等，
当直线过原点时，－19－6λ＝0，
则λ＝－eq \f(19,6)，此时直线l的方程为4x－y＝0；
当直线不过原点时，直线方程化为(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－19－6λ＝0，
则3＋2λ＝4＋λ，解得λ＝1，
所求直线为x＋y－5＝0.
综上，直线方程为4x－y＝0或x＋y－5＝0.
18．(12分)设圆C的圆心在第一象限内且满足：①被x轴截得的弦长为2；②被y轴截得的劣弧所对的圆心角为eq \f(π,2)；③圆心到直线x－2y＝0的距离为eq \f(\r(5),5).
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(1－eq \r(2)，3)作圆的切线，求切线方程．
解 (1)设圆心为C(a，b)(a>0，b>0)，半径为r，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋b2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)r))2＋a2＝r2，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))
解得r2＝2，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1))(负值舍去)，
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1－eq \r(2)，符合题意，
当切线的斜率存在时，
设切线方程为y＝k(x－1＋eq \r(2))＋3，
即kx－y－k(1－eq \r(2))＋3＝0，
则eq \f(|k－1－k1－\r(2)＋3|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，
解得k＝－eq \f(\r(2),4).
所以圆的切线方程为x＋2eq \r(2)y－5eq \r(2)－1＝0.
综上，切线方程为x＝1－eq \r(2)和x＋2eq \r(2)y－5eq \r(2)－1＝0.
19.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC＝eq \r(2)AB，AB＝BC＝2，D为BB1的中点．
(1)证明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；
(2)求平面ADC1与平面ABC所成角的大小．
(1)证明 ∵A1A＝AC＝eq \r(2)AB，AB＝BC＝2，
∴AB2＋BC2＝AC2，
由勾股定理知，AB⊥BC，如图所示建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，B1(0,0,2eq \r(2))，A1(0,2,2eq \r(2))，C1(2,0,2eq \r(2))，
设E为AC1的中点，
则E(1,1，eq \r(2))，
又D是BB1的中点，
∴D(0,0，eq \r(2))，
故eq \(DE,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(CC1,\s\up6(—→))＝(0,0,2eq \r(2))，eq \(AC1,\s\up6(—→))＝(2，－2,2eq \r(2))，
∵eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(AC1,\s\up6(—→))＝0，eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝0，
∴DE⊥AC1，DE⊥CC1，AC1∩CC1＝C1.
∴DE⊥平面ACC1A1，DE⊂平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面ACC1A1.
(2)解 设平面ADC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，且eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，－2，eq \r(2))，eq \(AC1,\s\up6(—→))＝(2，－2,2eq \r(2))，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))·n1＝0，,\(AC1,\s\up6(—→))·n1＝0，))
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2y＋\r(2)z＝0，,2x－2y＋2\r(2)z＝0，))
令y＝eq \r(2)，则n1＝(－eq \r(2)，eq \r(2)，2)，
显然平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)，
设平面ADC1与平面ABC所成角的大小为θ，
∴cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
＝eq \f(|2|,\r(2＋2＋4))＝eq \f(\r(2),2)⇒θ＝eq \f(π,4)，
故平面ADC1与平面ABC所成角的大小为eq \f(π,4).
20.(12分)如图，四棱锥P－ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，BD＝2eq \r(3)，∠BAD＝eq \f(π,3).
(1)求证：BD⊥PD；
(2)求直线PD与平面PBC所成角的余弦值．
(1)证明 在△ABD中，AD＝2，BD＝2eq \r(3)，∠BAD＝eq \f(π,3)，易得AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BD⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，∴BD⊥PD.
(2)解 如图，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABCD，过点O作OE⊥BC交CB的延长线于点E，
连接PE，以O为坐标原点，分别以OA，OE，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示．则D(－1,0,0)，B(－1,2eq \r(3)，0)，P(0,0，eq \r(3))，C(－3,2eq \r(3)，0)．
所以eq \(BP,\s\up6(→))＝(1，－2eq \r(3)，eq \r(3))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(－1,0，－eq \r(3))．
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\(BP,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＝0，,x－2\r(3)y＋\r(3)z＝0，))
令y＝1，则z＝2，x＝0.
所以n＝(0,1,2)，
设直线PD与平面PBC所成角为θ，
则sin θ＝eq \f(|\(PD,\s\up6(→))·n|,|\(PD,\s\up6(→))|·|n|)＝eq \f(2\r(3),2×\r(5))＝eq \f(\r(15),5)，
所以cs θ＝eq \f(\r(10),5)，
即直线PD与平面PBC所成角的余弦值为eq \f(\r(10),5).
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为4eq \r(2)，直线l与抛物线C相交于M，N两点，点A(1,2)，且直线AM，AN的斜率之和为4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线l过定点，并求出定点坐标．
(1)解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y2＝2px，))解得x1＝0，x2＝2p，
因为直线y＝x被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为4eq \r(2)，
所以eq \r(2)|2p－0|＝4eq \r(2)，p>0，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明 设直线l的方程为x＝my＋b，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋b，,y2＝4x，))得y2－4my－4b＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b，
因为点A(1,2)，且直线AM，AN的斜率之和为4，
所以eq \f(y1－2,x1－1)＋eq \f(y2－2,x2－1)＝4，而x1＝eq \f(y\\al(2,1),4)，x2＝eq \f(y\\al(2,2),4)，
化简得y1＋y2＋y1y2＝0，
所以4m－4b＝0，即b＝m，
所以直线l的方程为x＝m(y＋1)，
所以直线l过定点，定点坐标为(0，－1)．
22．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点到右焦点F的距离与右焦点F到直线x＝eq \f(a2,c)的距离相等，且椭圆C的通径(过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦)长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过点F，且与坐标轴不垂直，与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B.
①当|BF|＝eq \f(6,7)时，求直线l的方程；
②求证：eq \f(|PQ|,|BF|)为定值．
(1)解 由条件得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝\f(a2,c)－c，,\f(2b2,a)＝3，))
又b2＝a2－c2，
解得a＝2，b＝eq \r(3)，c＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)因为直线l过点F(1,0)，且与坐标轴不垂直，
所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
设线段PQ的中点为M，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ>0，所以x1＋x2＝eq \f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，
所以线段PQ的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k2,3＋4k2)，－\f(3k,3＋4k2)))，
所以线段PQ的垂直平分线方程为
y＋eq \f(3k,3＋4k2)＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4k2,3＋4k2)))，
令y＝0，得x＝eq \f(k2,3＋4k2)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k2,3＋4k2)，0)).
①解 当|BF|＝eq \f(6,7)时，则1－eq \f(k2,3＋4k2)＝eq \f(6,7)，
解得k＝±1，
所以直线l的方程为x±y－1＝0.
②证明 因为|PQ|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(121＋k2,3＋4k2)，
|BF|＝1－eq \f(k2,3＋4k2)＝eq \f(3＋3k2,3＋4k2)，
所以eq \f(|PQ|,|BF|)＝4为定值．