高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案，共15页。学案主要包含了直线与椭圆的交点问题，直线与双曲线的交点问题，直线与抛物线的交点问题，中点弦问题等内容，欢迎下载使用。
一、直线与椭圆的交点问题
知识梳理
联立直线方程与椭圆方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与椭圆的位置关系如下
注意点：设直线时，要注意斜率不存在的情况．
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②))
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3eq \r(2)0，解得m>1或m1且m≠3，
∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
8．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
答案 (4,2)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y2＝4x，))得x2－8x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2)．
9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0，))
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝eq \f(|4－3|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，\f(1,3))).
10．已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
解 (1)设M(x，y)．
因为kAM·kBM＝－2，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝－2(x≠±1)，
化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)．
即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝eq \f(1,2)，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意．
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝2，①
2xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝2，②
①－②整理得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(2x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(2×2×\f(1,2),2×1)＝－1，
故直线l的方程为y－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为eq \f(\r(2),2)，则eq \f(m,n)的值是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(9\r(2),2) D.eq \f(2\r(3),27)
答案 A
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx2＋ny2＝1，,y＝1－x，))
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝eq \f(2n,m＋n)，∴x0＝eq \f(n,m＋n)，
代入y＝1－x得y0＝eq \f(m,m＋n).
由题意知eq \f(y0,x0)＝eq \f(\r(2),2)，∴eq \f(m,n)＝eq \f(\r(2),2).
12．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有1条或2条 D．不存在
答案 B
解析 |AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋7＝(a＋1)2＋6>4，而通径的长为4，所以有且仅有两条．
13．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,19)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 C
解析 由题意设椭圆方程为eq \f(x2,b2＋1)＋eq \f(y2,b2)＝1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,b2＋1)＋\f(y2,b2)＝1，,x－y＋3＝0，))
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
又e＝eq \r(1－\f(b2,b2＋1))＝eq \r(\f(1,b2＋1))，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
14．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝eq \f(1,2)x交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(15)，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
答案 B
解析 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
与y＝eq \f(1,2)x联立，得eq \f(3,4)x2＝a2，
∴|AB|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)×eq \f(4\r(3),3)a＝2eq \r(15)，∴a＝3，故选B.
15．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋eq \r(2)y－2eq \r(2)＝0与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切，若椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝eq \f(c,b)x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D．2
答案 C
解析 联立方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(2)y－2\r(2)＝0，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))
消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.
设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，
所以F′E⊥EF.
又点F到直线l的距离d＝eq \f(c2,\r(c2＋b2))＝eq \f(c2,a)，
所以|EF|＝eq \f(2c2,a)，|F′E|＝2a－|EF|＝eq \f(2b2,a).
在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，
化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.
所以|EF|＝|F′E|＝2，
所以S△OEF＝eq \f(1,2)S△F′EF＝1.
16.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
解 (1)由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，
可知圆心为F(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，故抛物线方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|＝4，
则|AB|＋|CD|＝|AD|－4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在抛物线上，
由已知可得直线l的方程为y＝2(x－2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝2x－2，))消去y，
得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AD|＝6＋4＝10，
∴|AB|＋|CD|＝10－4＝6.方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ