高中2.6.1 双曲线的标准方程学案

这是一份高中2.6.1 双曲线的标准方程学案，共11页。学案主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程，求简单的双曲线方程等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法．
导语
同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的．创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能达到”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就．课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生．
一、双曲线的定义
问题1 椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
提示 平面内到两个定点的距离的和是一个常数，且该常数大于这两个定点之间的距离，根据焦点位置的不同，其标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
问题2 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎么样？
提示 准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于F1F2的长度)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔(粉笔)就画出一条曲线，同理可画出另一支．(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差PF1－PF2或PF2－PF1是同一个常数”这个条件．
问题3 在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于F1F2的长度，如果截取的长度等于F1F2的长度，其轨迹还是上述图形吗？
提示 不是，是以F1，F2为端点的两条射线．
知识梳理
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线或一条直线
B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线
D．双曲线一支或一条射线
答案 D
解析 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．
反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．
跟踪训练1 已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
答案 D
解析 F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
二、双曲线的标准方程
问题4 类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则
||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
因为|PF1|＝eq \r(x＋c2＋y2)，|PF2|＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)－eq \r(x－c2＋y2)＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
两边同除以a2(c2－a2)，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,c2－a2)＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
问题5 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
提示 eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
知识梳理
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
三、求简单的双曲线方程
例2 (1)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，eq \r(10))的双曲线的标准方程为_____．
答案 eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1
解析 由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq \r(2).
设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，eq \f(9,a2)－eq \f(10,b2)＝1，
解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1.
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)的双曲线的标准方程是__________．
答案 eq \f(y2,144)－eq \f(x2,25)＝1
解析 ∵双曲线经过点M(0,12)，
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,144)－eq \f(x2,25)＝1.
反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
跟踪训练2 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2eq \r(6)，2eq \r(2))的双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
解析 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2eq \r(6)，2eq \r(2))代入方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，①,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1，②))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4，))
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1.
1.知识清单：
(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程．
(3)双曲线定义及标准方程的应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：双曲线有两支，定义中若没有绝对值，则只能取一支．
1．已知点P(x，y)的坐标满足eq \r(x－12＋y2)－eq \r(x＋12＋y2)＝±eq \r(2)，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．两条射线
D．双曲线的一支
答案 B
解析 设A(1,0)，B(－1,0)，
则由已知得||PA－|PB||＝eq \r(2)，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数eq \r(2)，又|AB|＝2，且eq \r(2)<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线．
2．方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
答案 A
解析 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
3．若椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B．1或－2
C．1或eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,04．以椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1的焦点为焦点，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3\r(5),2)))的双曲线的方程为________________．
答案 eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1
解析 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,\f(4,a2)－\f(45,4b2)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(3,4)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝16，,b2＝－15))(舍去)，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1.
课时对点练
1．已知m，n∈R，则“m·n<0”是“方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线，知m，n异号，即m·n<0；m·n<0，有eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线．
2．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
答案 A
解析 当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线．
3．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，0)) D．(eq \r(3)，0)
答案 B
解析 将双曲线方程化为标准方程为x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1，
∴a2＝1，b2＝eq \f(1,2)，∴c2＝a2＋b2＝eq \f(3,2)，
∴c＝eq \f(\r(6),2)，故右焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0)).
4．下列各选项中，与eq \f(x2,12)－eq \f(y2,24)＝1共焦点的双曲线是( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,14)＝1 B.eq \f(y2,24)－eq \f(x2,12)＝1
C.eq \f(x2,10)－eq \f(y2,26)＝1 D.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,26)＝1
答案 C
解析 方法一 因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；
又双曲线eq \f(x2,12)－eq \f(y2,24)＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B.
方法二 与eq \f(x2,12)－eq \f(y2,24)＝1共焦点的双曲线方程为eq \f(x2,12＋λ)－eq \f(y2,24－λ)＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．故选C.
5．(多选)若方程“eq \f(x2,k－5)－eq \f(y2,k－2)＝1”表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．k>5 B．2C．k<2 D．2答案 AC
解析 依题意有(k－5)(k－2)>0，
即k>5或k<2，
故选AC.
6．(多选)点P为双曲线C上一点，双曲线焦点F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的顶点，且|PF1|－|PF2|＝4，则双曲线C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,12)＝1 D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
答案 AD
解析 依题意知，椭圆的顶点为(±4,0)，(0，±2eq \r(3))，
∴当双曲线的焦点在x轴时，c＝4，
又2a＝4，∴a＝2，
∴b2＝c2－a2＝12，
双曲线C的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
当双曲线的焦点在y轴时，c＝2eq \r(3)，
又a＝2，∴b2＝c2－a2＝8，
双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1，
故选AD.
7．若双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为________．
答案 ±6
解析 当k>0时，方程可化为eq \f(x2,\f(k,2))－eq \f(y2,k)＝1，
则c2＝eq \f(k,2)＋k＝eq \f(3k,2)，即2×eq \f(\r(6k),2)＝6，故k＝6.
当k<0时，方程可化为eq \f(y2,－k)－eq \f(x2,－\f(k,2))＝1，
则c2＝－eq \f(3k,2)，故2×eq \f(\r(－6k),2)＝6，解得k＝－6.
综上所述，k＝－6或6.
8．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________．
答案 eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
解析 由|MA|－|MB|＝6，且6<|AB|＝10，
故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支．
得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16.
所以点M的轨迹方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)．
9．动圆M的半径为r，与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 ∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，
∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，
∴|MC1|－|MC2|＝4，
∴点M的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，
∴点M的轨迹方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)．
10．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)双曲线一个焦点坐标是(eq \r(6)，0)，经过点(－5,2)；
(2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq \r(2)，2)．
解 (1)∵c＝eq \r(6)，且焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6－a2)＝1(a2<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴eq \f(25,a2)－eq \f(4,6－a2)＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
于是双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1.
(2)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由题意，知c＝2eq \r(5).
∵双曲线过点(3eq \r(2)，2)，∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.
又a2＋b2＝(2eq \r(5))2，∴a2＝12，b2＝8.
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
11．双曲线eq \f(x2,m2＋12)－eq \f(y2,4－m2)＝1的焦距是( )
A．16 B．4 C．8 D．2eq \r(2m2－8)
答案 C
解析 由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
则c2＝a2＋b2＝16，焦距为2c＝2×eq \r(16)＝8.
12．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
答案 B
解析 据已知条件得焦点在x轴上，
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(eq \r(5)，4)，将其代入双曲线的方程，
得eq \f(5,a2)－eq \f(16,b2)＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 A
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝1，
又|O1O2|＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．
14．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4eq \r(2)，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．
答案 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
解析 设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得＝－1，
∴eq \f(5,c)·eq \f(5,－c)＝－1，∴c＝5，
设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过点(4eq \r(2)，－3)，∴eq \f(32,a2)－eq \f(9,b2)＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
15．在△ABC中，|AB|＝4，△ABC的内切圆切AB于点D，且|AD|－|BD|＝2eq \r(2)，则顶点C的轨迹为( )
A．椭圆 B．圆
C．双曲线 D．双曲线的一部分
答案 D
解析 如图，△ABC的内切圆与边BC，AC的切点分别为E，F，
∴|AD|＝|AF|，|BD|＝|BE|，|CE|＝|CF|，
又|AD|－|BD|＝2eq \r(2)，|CA|＝|CF|＋|AF|，
|CB|＝|CE|＋|BE|，
∴|CA|－|CB|＝|AF|－|BE|＝|AD|－|BD|
＝2eq \r(2)<|AB|＝4且|CA|>|CB|，
∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，除去与AB的交点，故选D.
16．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝eq \f(3,4)，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
解 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝eq \f(3,4)，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
故所求方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,96)＝1(x>2)．焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦点
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2