2021学年2.1 坐标法学案

这是一份2021学年2.1 坐标法学案，共10页。学案主要包含了平面直角坐标系中的基本公式，用坐标法证明几何问题，用坐标法研究存在性问题等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解实数与数轴上的点的对应关系，掌握数轴上两点间的距离公式，掌握数轴向量加法的坐标运算.2.理解并掌握平面内两点间的距离公式.3.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．
导语
同学们，今天开始我们就要学习平面解析几何了，解析几何是用代数的方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何分支，当年法国数学家笛卡尔和费马等人为创建解析几何也是和大家一样努力学习，它的基本思想是数形结合，基本方法是用坐标表示点，对于坐标，大家并不陌生，让我们开始今天的新课．
一、平面直角坐标系中的基本公式
知识梳理
1．数轴上的基本公式
如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1))，且B(x2)．
(1)向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为x2－x1.
(2)A，B两点之间的距离为|AB|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|x2－x1|.
(3)A，B两点的中点坐标为x＝eq \f(x1＋x2,2).
2．平面直角坐标系中的基本公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．
(2)两点间的距离公式：
|AB|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)中点坐标公式：若M(x，y)为AB的中点，则x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2).
例1 (1)若A(－5,6)，B(a，－2)两点的距离为10，则a＝____________.
答案 1或－11
解析 ∵|AB|＝eq \r(－5－a2＋6＋22)＝10，
∴a＝1或－11.
(2)已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C，D的坐标．
解 设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3＝\f(4＋x1,2)，,4＝\f(2＋y1,2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－10，,y1＝6.))
设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3＝\f(5＋x2,2)，,4＝\f(7＋y2,2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－11，,y2＝1，))
故C点坐标为(－10,6)，D点坐标为(－11,1)．
反思感悟 (1)两点间的距离公式应用的两种形式
①在求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可．
②利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．
(2)中点坐标公式应用的步骤
①认真审题，提炼题设中的条件．
②将条件转化为与中点有关的问题．
③利用中点坐标公式求解．
④转化为题目要求的结果．
特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
跟踪训练1 (1)已知点A(－3,4)，点B(2，eq \r(3))，试在x轴上找一点P，使得d(P，A)＝d(P，B)，则d(P，A)＝________.
答案 eq \f(2\r(109),5)
解析 设P(x,0)，由题意得
d(P，A)＝eq \r(x＋32＋0－42)＝eq \r(x2＋6x＋25)，
d(P，B)＝eq \r(x－22＋0－\r(3)2)＝eq \r(x2－4x＋7).
由d(P，A)＝d(P，B)，
即eq \r(x2＋6x＋25)＝eq \r(x2－4x＋7)，
化简得x＝－eq \f(9,5)，故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，0))，
d(P，A)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(9,5)))2＋42)＝eq \f(2\r(109),5).
(2)点M(4,3)关于点N(5，－3)的对称点的坐标为________________．
答案 (6，－9)
解析 设所求点的坐标为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋4,2)＝5，,\f(y＋3,2)＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－9，))
故所求对称点的坐标为(6，－9)．
二、用坐标法证明几何问题
知识梳理
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法．
例2 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．
证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，直角边CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则C(0,0)．
设A(a,0)，B(0，b)，则斜边中点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b,2))).
因为|OM|＝eq \r(\f(a2,4)＋\f(b2,4))＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋b2)，
|BM|＝eq \r(\f(a2,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)－b))2)＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋b2)，
|MA|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(a,2)))2＋\f(b2,4))＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋b2)，
所以|OM|＝|BM|＝|MA|.
即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．
反思感悟 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．
跟踪训练2 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
证明 令△ABD的边长为a，△BCE的边长为b，
如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(－a,0)，C(b,0)，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a，\f(\r(3),2)a))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b，\f(\r(3),2)b)).
|AE|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)b))2)＝eq \r(a2＋ab＋b2)，
|CD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a－b))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a))2)＝eq \r(a2＋ab＋b2)，
∴|AE|＝|CD|，即证原等式成立．
三、用坐标法研究存在性问题
例3 已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，－2)，(3,1)，(0,2)，求这个平行四边形第四个顶点的坐标．
解 设A(－1，－2)，B(3,1)，C(0,2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)，
(1)若四边形ABCD是平行四边形，
则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)＝\f(－1＋0,2)，,\f(y＋1,2)＝\f(－2＋2,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－1，))
∴点D的坐标为(－4，－1)．
(2)若四边形ABDC是平行四边形，
则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,2)＝\f(3＋0,2)，,\f(y－2,2)＝\f(1＋2,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝5，))
∴点D的坐标为(4,5)．
(3)若四边形ACBD是平行四边形，
则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－1＋3,2)＝\f(x＋0,2)，,\f(－2＋1,2)＝\f(y＋2,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3，))
∴点D的坐标为(2，－3)．
综上所述，满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4,5)或(2，－3)．
反思感悟 探索性问题的一般解题步骤
(1)建立平面直角坐标系．
(2)分类讨论所有可能的情况．
(3)分别进行代数运算．
(4)回归几何问题．
跟踪训练3 (多选)在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是( )
A．(6,4) B．(2,0)
C．(4,6) D．(0,2)
答案 BC
解析 设B(x，y)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(x－3，y－3)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－3－y－3＝0，,\r(x－32＋y－32)＝\r(9＋1)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6.))
1.知识清单：
(1)平面直角坐标系中的基本公式．
(2)平面直角坐标系中的两点间距离公式和中点坐标公式．
(3)坐标法的应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：用坐标法解决几何问题时，最后需还原到原几何问题．
1．在数轴上有两点A，B，点A(－1)，|AB|＝6，那么AB的中点C的坐标为( )
A．2 B．－4 C．3或－3 D．2或－4
答案 D
解析 设B(x1)，C(x0)，
∵|AB|＝|x1－(－1)|＝|x1＋1|＝6，
∴x1＝5或x1＝－7，
又C(x0)为A，B中点，
∴x0＝eq \f(x1＋－1,2)＝eq \f(x1－1,2)，∴x0＝2或－4.
2．点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为( )
A．(1,5) B．(4,9) C．(5,3) D．(9,4)
答案 B
解析 设点Q的坐标为(x，y)，
由中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝\f(2＋x,2)，,4＝\f(－1＋y,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝9.))
3．已知点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则a的值是( )
A．－2 B．2 C．－eq \f(9,2) D.eq \f(9,2)
答案 C
解析 因为点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，
所以eq \r([a－－2]2＋[2－－3]2)＝eq \r(a－12＋2－12)，
解得a＝－eq \f(9,2).
4．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(eq \r(3)，2)，B(0,1)，C(0，3)，则此三角形的形状是________．
答案 等边三角形
解析 因为|AB|＝eq \r(\r(3)－02＋2－12)＝2，
|AC|＝eq \r(\r(3)－02＋2－32)＝2，
|BC|＝eq \r(0－02＋1－32)＝2，
所以|AB|＝|AC|＝|BC|.
所以△ABC为等边三角形．
课时对点练
1．在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为( )
A．13 B．0 C．4 D．－2
答案 C
解析 如图所示，故C(4)为所求．
2．若点P(x，y)到两点M(2,3)，N(4,5)的距离相等，则x＋y的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．不确定
答案 C
解析 由两点间距离公式，得eq \r(x－22＋y－32)＝eq \r(x－42＋y－52)，两边平方，得x＋y＝7，故选C.
3．若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为( )
A．(－2,0) B．(1,0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0)) D．(eq \r(34)，0)
答案 D
解析 设M(x,0)(x>0)，则由已知得x2＝52＋32＝34.
又x>0，∴x＝eq \r(34)，∴M(eq \r(34)，0)．
4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4eq \r(2) C．2eq \r(5) D．2eq \r(10)
答案 C
解析 设A(a,0)，B(0，b)，
则eq \f(a,2)＝2，eq \f(b,2)＝－1，
解得a＝4，b＝－2，
∴|AB|＝2eq \r(5).
5．(多选)数轴上一点P，若它到点A(－6)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍．则点P的坐标为( )
A．P(0) B．P(－3)
C．P(4) D．P(－4)
答案 AD
解析 设所求点P的坐标为x，则|x－(－6)|＝2|x－(－3)|，
所以x＝0或x＝－4.
所以P(0)或P(－4)．
6．(多选)已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则点C的坐标是( )
A．(－3，－7) B．(－3，－5)
C．(3，－5) D．(2，－7)
答案 BD
解析 设C(x，y)，显然AC，BC的中点不在同一条坐标轴上．若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则有3＋x＝0,5＋y＝0，即C(－3，－5)．
7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
答案 eq \r(17)
解析 由题意知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝\f(x－2,2)，,y＝\f(5－3,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1.))
∴d＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).
8．使得|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为__________．
答案 (－∞，4]
解析 设函数y＝|x－3|＋|x＋1|，
则y表示到点A(3)和B(－1)的距离的和，即y≥4，
所以使|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为(－∞，4]．
9．已知四边形ABCD的顶点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求CE，DE，AF，DF的长度．
解 设线段AB的中点为E(x，y)，
则x＝eq \f(－4＋2,2)＝－1，y＝eq \f(3＋5,2)＝4，
则d(E，C)＝eq \r(－1－62＋4－32)＝5eq \r(2)，
d(E，D)＝eq \r([－1－－3]2＋4－02)＝2eq \r(5).
设线段BC的中点为F(m，n)，
则m＝eq \f(2＋6,2)＝4，n＝eq \f(5＋3,2)＝4，
则d(F，A)＝eq \r([4－－4]2＋4－32)＝eq \r(65)，
d(F，D)＝eq \r([4－－3]2＋4－02)＝eq \r(65).
即CE，DE的长度分别为5eq \r(2)，2eq \r(5)，
AF，DF的长度都为eq \r(65).
10．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)由已知，d(A，B)＝eq \r(－1－12＋3＋12)
＝eq \r(20)＝2eq \r(5)，
d(A，C)＝eq \r(3－12＋0＋12)＝eq \r(5)，
d(B，C)＝eq \r(3＋12＋0－32)＝eq \r(25)＝5.
∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形．
(2)由角A为直角，得
S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·|AC|＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \r(5)＝5.
11．若A，B，C，D是数轴上的四个点，且eq \(BA,\s\up6(→))＝6，eq \(BC,\s\up6(→))＝－2，eq \(CD,\s\up6(→))＝6，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．0 B．－2 C．10 D．－10
答案 B
解析 如图，eq \(BA,\s\up6(→))＝6，|BA|＝6，且A在B右侧，
eq \(BC,\s\up6(→))＝－2，|BC|＝2，且C在B左侧，
∴|CA|＝|CB|＋|BA|＝8且A在C右侧，
又eq \(CD,\s\up6(→))＝6，∴|CD|＝6且D在C右侧，
∴D在A左侧，且|AD|＝2，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝－2.
12．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )
A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,2)
答案 C
解析 |AB|＝eq \r(a＋1－52＋a－4－2a＋12)
＝eq \r(2a2－2a＋25)，所以当a＝eq \f(1,2)时，|AB|最小．
13．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射之后经过点B(2,10)，则光线从点A到点B的距离为( )
A．5eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．10eq \r(10) D．5eq \r(10)
答案 D
解析 点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由光线反射的对称性可知，从点A到点B的光线距离就是线段AB′的长度．|AB′|＝eq \r([2－－3]2＋－10－52)＝5eq \r(10).
14．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长BC＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
答案 2eq \r(6)
解析 |BD|＝eq \f(1,2)|BC|＝2，
|AD|＝eq \r(5－32＋4－02)＝2eq \r(5).
在Rt△ADB中，
由勾股定理，得腰长|AB|＝eq \r(22＋2\r(5)2)＝2eq \r(6).
15．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 若点C在x轴上，设C(x,0)，由∠ACB＝90°，
得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
∴(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，
解得x＝0或x＝2.
若点C在y轴上，设C(0，y)，
由|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
可得y＝0或y＝4.
∴所得点C共有3个．
16．已知0