2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第三册学案综合检测试卷

这是一份高中全册综合学案，共10页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
答案 D
解析 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32(种)，故选D.
2．随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于( )
A.2.4 B．3
C．2.2 D．2.3
答案 A
解析 由表格可求得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4.
3．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在第一次正面向上的条件下，第二次反面向上的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 记事件A表示“第一次正面向上”，事件B表示“第二次反面向上”，则P(AB)＝eq \f(1,4)，P(A)＝eq \f(1,2)，
∴P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,2).
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<1)等于( )
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
答案 D
解析 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P(ξ<2)＝0.6，所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，故P(0<ξ<1)＝eq \f(1,2)P(0<ξ<2)＝eq \f(1,2)(1－0.4－0.4)＝0.1.
5．设A＝37＋Ceq \\al(2,7)×35＋Ceq \\al(4,7)×33＋Ceq \\al(6,7)×3，B＝Ceq \\al(1,7)×36＋Ceq \\al(3,7)×34＋Ceq \\al(5,7)×32＋1，则A－B的值为( )
A．128 B．129
C．47 D．0
答案 A
解析 A－B＝37－Ceq \\al(1,7)×36＋Ceq \\al(2,7)×35－Ceq \\al(3,7)×34＋Ceq \\al(4,7)×33－Ceq \\al(5,7)×32＋Ceq \\al(6,7)×31－1＝(3－1)7＝27＝128.
6．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种
答案 C
解析 先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有Aeq \\al(5,5)＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480(种)．故选C.
7．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))1x＋eq \(a,\s\up6(^))1，样本相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))2x＋eq \(a,\s\up6(^))2，样本相关系数为r2.则( )
A．0C．－1答案 D
解析 由散点图得两个变量成负相关，所以r1<0，r2<0，因为剔除点(10,21)后，剩下点的数据更具有线性相关性，|r|更接近1，所以－18．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行．要使4引擎飞机更安全，则p的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
答案 B
解析 4引擎飞机成功飞行的概率为Ceq \\al(3,4)p3(1－p)＋p4，2引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Ceq \\al(3,4)p3(1－p)＋p4>p2，必有eq \f(1,3)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知随机变量X＋ξ＝8，若X～B(10,0.6)，则E(ξ)，D(ξ)分别为( )
A．E(ξ)＝6 B．E(ξ)＝2
C．D(ξ)＝2.4 D．D(ξ)＝5.6
答案 BC
解析 ∵X～B(10,0.6)，
∴E(X)＝10×0.6＝6，
D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
∵X＋ξ＝8，∴ξ＝8－X，
由均值和方差的性质可得：
E(ξ)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，
D(ξ)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4.
故选BC.
10．若Ceq \\al(m－1,8)>3Ceq \\al(m,8)，则m的取值可能是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案 BC
解析 根据题意，对于Ceq \\al(m－1,8)和3Ceq \\al(m,8)，
有0≤m－1≤8，且0≤m≤8，则有1≤m≤8，
若Ceq \\al(m－1,8)>3Ceq \\al(m,8)，
则有eq \f(8！,m－1！9－m！)>3×eq \f(8！,m！8－m！)，
变形得m>27－3m，
解得m>eq \f(27,4)，即eq \f(27,4)11．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率均为p，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则( )
A．p＝0.2 B．P(X＝0)＝0.64
C．P(X＝1)＝0.16 D．E(X)＝0.4
答案 ABD
解析 设A，B两市受台风袭击的概率均为p，
则A市，B市都不受台风袭击的概率为
(1－p)2＝1－0.36，
解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，
P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，
P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，
P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
∴E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4，
故选ABD.
12．某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有( )
A．销售额y与广告费支出x正相关
B．丢失的数据(表中▲处)为30
C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D．若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元．
答案 AB
解析 由经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，可知eq \(b,\s\up6(^))＝6.5>0，
则销售额y与广告费支出x正相关，所以A正确；
设丢失的数据为m，由表中的数据可得eq \x\t(x)＝5，eq \x\t(y)＝eq \f(220＋m,5)，把点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(220＋m,5)))代入经验回归方程，可得eq \f(220＋m,5)＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以B正确；
该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；
若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为y＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以D不正确．
故选AB.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(千箱)与单位成本(元)的资料进行线性回归分析，结果如下：
eq \x\t(x)＝eq \f(7,2)，eq \x\t(y)＝71，eq \i\su(i＝1,6,x)eq \\al(2,i)＝79，eq \i\su(i＝1,6,x)iyi＝1 481，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(1 481－6×\f(7,2)×71,79－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))2)＝－1.818 2，
eq \(a,\s\up6(^))＝71－(－1.818 2)×eq \f(7,2)≈77.36，则销量每增加1千箱，估计单位成本下降________元．
答案 1.818 2
解析 由已知可得，eq \(y,\s\up6(^))＝－1.818 2x＋77.36，则销量每增加1千箱，估计单位成本下降1.818 2元．
14．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))n的展开式中，各项的二项式系数和为256，则n＝________，展开式中常数项是________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 8 7
解析 依题意，得2n＝256，∴n＝8.
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))8展开式的通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8－k(－1)k，
令8－eq \f(4,3)k＝0，则k＝6，
因此展开式中的常数项T7＝Ceq \\al(6,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝7.
15．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
答案 1 080
解析 ①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为Ceq \\al(3,5)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)＝960.
②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为Aeq \\al(4,5)＝120.
故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
16．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于等于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．
答案 683
解析 依题图可知，μ＝60.5，又σ＝2，故P(58.5≤X≤62.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 7≈683.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数．
解 通项公式为
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)(－3)k＝Ceq \\al(k,n)(－3)k.
(1)∵第6项为常数项，
∴当k＝5时，eq \f(n－2k,3)＝0，解得n＝10.
(2)令eq \f(10－2k,3)＝2，得k＝eq \f(1,2)×(10－6)＝2，
∴所求的系数为Ceq \\al(2,10)(－3)2＝405.
18．(12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及均值E(η)．
解 (1)由A表示事件：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，
知eq \x\t(A)表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P(eq \x\t(A))＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200元，250元，300元．
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.
∴η的分布列为
∴E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元).
19．(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，
依题意得P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5).
∴ξ的分布列为
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
∴所求概率为P(eq \x\t(C))＝1－P(C)＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(3)P(B)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(3,6))＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)；
P(B|A)＝eq \f(C\\al(1,4),C\\al(2,5))＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
20．(12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为eq \f(2,7).
(1)请完成上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析成绩是否与班级有关；
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
解 (1)2×2列联表如下所示：
零假设H0：成绩和班级无关，
则χ2＝eq \f(210×20×60－40×902,60×150×110×100)≈12.2>6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为成绩与班级有关．
(2)ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,7)))，且P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7)))k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,7)))3－k(k＝0,1,2,3)，ξ的分布列为
E(ξ)＝0×eq \f(125,343)＋1×eq \f(150,343)＋2×eq \f(60,343)＋3×eq \f(8,343)＝eq \f(6,7).
21．(12分)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：样本相关系数公式
r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))
＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\\al(2,i)－n\x\t(y)2))，
经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
参考数据：eq \r(0.3)≈0.55，eq \r(0.9)≈0.95.
解 (1)由已知数据可得eq \x\t(x)＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，
eq \x\t(y)＝eq \f(3＋4＋4＋4＋5,5)＝4.
所以eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))
＝(－3)×(－1)＋(－1)×0＋0×0＋1×0＋3×1＝6，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \r(－32＋－12＋02＋12＋32)＝2eq \r(5)，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2)＝eq \r(－12＋02＋02＋02＋12)＝eq \r(2)，
所以样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2))
＝eq \f(6,2\r(5)×\r(2))＝eq \r(\f(9,10))≈0.95.
因为|r|>0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(6,20)＝eq \f(3,10)＝0.3.
那么eq \(a,\s\up6(^))＝4－5×0.3＝2.5.
所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.3x＋2.5.
当x＝12时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.3×12＋2.5＝6.1，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
22．(12分)要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？
解 设Hi＝{随机地取出3件，恰有i件音色不纯}，
i＝0,1,2,3.
A＝{这批乐器被接收}．则P(A)＝P(A|H0)P(H0)＋P(A|H1)P(H1)＋P(A|H2)P(H2)＋P(A|H3)P(H3)，
其中P(H0)＝eq \f(C\\al(3,96),C\\al(3,100))，P(H1)＝eq \f(C\\al(2,96)C\\al(1,4),C\\al(3,100))，
P(H2)＝eq \f(C\\al(1,96)C\\al(2,4),C\\al(3,100))，P(H3)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,100))，
P(A|H0)＝(0.99)3，P(A|H1)＝(0.99)2×0.05，
P(A|H2)＝0.99×(0.05)2，P(A|H3)＝(0.05)3.
所以这批乐器被接收的概率为
P(A)＝P(A|H0)P(H0)＋P(A|H1)P(H1)＋P(A|H2)P(H2)＋P(A|H3)P(H3)
＝eq \f(C\\al(3,96),C\\al(3,100))×(0.99)3＋eq \f(C\\al(2,96)C\\al(1,4),C\\al(3,100))×(0.99)2×0.05＋eq \f(C\\al(1,96)C\\al(2,4),C\\al(3,100))×0.99×(0.05)2＋eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,100))×(0.05)3≈0.862 9.X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
x
2
4
5
6
8
y
▲
40
60
50
70
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
班级
成绩
合计
优秀
非优秀
甲班
20
乙班
60
合计
210
α
0.05
0.01
xα
3.841
6.635
班级
成绩
合计
优秀
非优秀
甲班
20
90
110
乙班
40
60
100
合计
60
150
210
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(125,343)
eq \f(150,343)
eq \f(60,343)
eq \f(8,343)