高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试学案设计，共14页。学案主要包含了双曲线定义的应用，双曲线方程的设法，双曲线在生活中的应用等内容，欢迎下载使用。

一、双曲线定义的应用
例1 (1)双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于7，那么点P到另一个焦点的距离等于( )
A．1 B．13 C．1或13 D．15
答案 B
解析 设双曲线焦点为F1，F2，取|PF1|＝7，
由题意可得a＝3，b＝4，c＝5，根据双曲线定义有||PF2|－7|＝2a＝6，
所以|PF2|＝1或|PF2|＝13，
当|PF2|＝1时，|PF2|＋|PF1|＝1＋7<|F1F2|＝10，
与两边之和大于第三边矛盾，故舍去，
所以|PF2|＝13.
(2)如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝eq \f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq \f(91,4).
∴动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,\f(91,4))＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(3,2))).
反思感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
跟踪训练1 (1)双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上且|PF1|＝20，则|PF2|等于( )
A．12或28 B．14或26
C．16或24 D．17或23
答案 B
解析 根据题意知，双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1中a＝eq \r(9)＝3，
又点P在双曲线C上，则有||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|PF1|－|PF2|＝±6.
又|PF1|＝20，则|PF2|等于14或26.
(2)在△ABC中，已知A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)，且内角A，B，C满足sin B－sin A＝eq \f(1,2)sin C，求顶点C的轨迹方程．
解 由sin B－sin A＝eq \f(1,2)sin C及正弦定理，
可得|CA|－|CB|＝eq \f(|AB|,2)，
从而有|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)<|AB|，
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去点(eq \r(2)，0))．
∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))．
二、双曲线方程的设法
例2 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4eq \r(2))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，5))，求双曲线的标准方程．
解 方法一 设所求双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(32,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝16，,b2＝9，))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
方法二 设双曲线的方程为my2－nx2＝1(mn>0)，
代入点(3，－4eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，5))有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(32m－9n＝1，,25m－\f(81,16)n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,16)，,n＝\f(1,9).))
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
(2)已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
①若点M在双曲线上，且eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，求M点到x轴的距离；
②若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程．
解 ①如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)|F1F2|·h，
∴h＝eq \f(2\r(5),5).
②设所求双曲线C的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3eq \r(2)，2)，
∴eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线C的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
反思感悟 (1)双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法．
(2)共焦点双曲线的设法
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ跟踪训练2 已知双曲线中，c＝eq \r(6)，且经过点(－5,2)，焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程．
解 方法一 依题意可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝6，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝1，))
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1.
方法二 ∵焦点在x轴上，c＝eq \r(6)，
∴设所求双曲线方程为eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，∴eq \f(25,λ)－eq \f(4,6－λ)＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是eq \f(x2,5)－y2＝1.
三、双曲线在生活中的应用
例3 神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
解 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，
以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2eq \r(3))．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－eq \r(3)，线段BC的中点D(－4，eq \r(3))，
∴直线PD的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥3)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5eq \r(3))，
∴kPA＝eq \f(5\r(3),8－3)＝eq \r(3)，
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
跟踪训练3 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.
答案 x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0) 2eq \r(7)－2
解析 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0)．
根据题意知C(3，eq \r(3))，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2eq \r(7)－2.
当A，M，C共线时等号成立．
1．知识清单：
(1)双曲线定义的应用．
(2)双曲线方程的求法．
(3)双曲线在实际生活中的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错．
1．若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
答案 B
解析 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
2．相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A．双曲线的一支 B．双曲线
C．椭圆 D．抛物线
答案 B
解析 由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
3．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1(x<－1) B．x2－eq \f(y2,8)＝1(x>1)
C．x2＋eq \f(y2,8)＝1(x>0) D．x2－eq \f(y2,10)＝1(x>1)
答案 B
解析 |PM|－|PN|＝|BM|－|BN|＝2<6＝|MN|，
所以P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去点(1,0))，且a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8，所以P点的轨迹方程是x2－eq \f(y2,8)＝1(x>1)．
4．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
答案 2eq \r(3)
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
因为PF1⊥PF2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2eq \r(2))2，
又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，
所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3).
课时对点练
1．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是( )
A．1 B．－1 C．－eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(10),5)
答案 B
解析 由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,－3m)－eq \f(x2,－m)＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
2．与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1共焦点，且过点(－2，eq \r(10))的双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,3)＝1
答案 B
解析 方法一 由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，－3)，
所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，－3)，
设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝9，,\f(10,a2)－\f(4,b2)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝4.))
所以双曲线的方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.
方法二 设双曲线的方程为eq \f(x2,16＋λ)＋eq \f(y2,25＋λ)＝1(－25<λ<－16)，
又因为双曲线过点(－2，eq \r(10))，
可得eq \f(4,λ＋16)＋eq \f(10,25＋λ)＝1，
解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.
所以双曲线的方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
答案 A
解析 由题意，根据双曲线的定义及|AF1|＝2|AF2|＝4，
可得|AF1|－|AF2|＝2＝2a，解得a＝1，
因为∠F1AF2＝90°，
所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，
即(2c)2＝20，即c2＝5，
又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，
所以双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
4．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为F1(－5，0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，则C的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,24)＝1 B.eq \f(x2,24)－y2＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
答案 A
解析 ∵F1(－5,0)，F2(5,0)，
∴c＝5，|F1F2|＝10，
∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，
∴cs∠PF1F2＝eq \f(4,5)＝eq \f(|PF1|,|F1F2|)，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，
∴a＝1，
∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.
∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
5．(多选)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17 B．7 C．22 D．2
答案 CD
解析 设双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则a＝5，b＝3，c＝eq \r(34)，
设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋eq \r(34))，
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，
∴|PF2|＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
6.若A，B，C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6 km，C在A的北偏东30°，两地相距4 km，在某一时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1 km/s,4 s后A，C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P的坐标是( )
A．(8,5eq \r(3)) B．(－8,5eq \r(3))
C．(8，－5eq \r(3)) D．(－8，－5eq \r(3))
答案 B
解析 由题意知，点A(3,0)，B(－3,0)，C(5,2eq \r(3))，
则线段AC的中点为(4，eq \r(3))，
直线AC的斜率kAC＝eq \f(2\r(3),5－3)＝eq \r(3)，
所以线段AC的垂直平分线的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，
所以线段AC的垂直平分线的方程为y－eq \r(3)＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)，
即y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(7\r(3),3)，
设P(x，y)，由|PA|＝|PC|可得点P在线段AC的垂直平分线上，
又|PA|－|PB|＝4<|AB|＝6，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，
且a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，
所以该双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≤－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1，,x≤－2，,y＝－\f(\r(3),3)x＋\f(7\r(3),3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－8，,y＝5\r(3).))
所以点P的坐标为(－8,5eq \r(3))．
7．过点(－3,2eq \r(7))和(－6eq \r(2)，－7)的双曲线的标准方程是________________．
答案 eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1
解析 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))
所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
8．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P到F1，F2的距离的差的绝对值是6，则该曲线方程是________．
答案 eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1
解析 ∵|F1F2|＝8，||PF1|－|PF2||＝6，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，
且2a＝6，a＝3，又c＝4，∴b2＝c2－a2＝7，
∴曲线方程是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1.
9．已知与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共焦点的双曲线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求该双曲线的标准方程．
解 已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
则c2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,25－a2)＝1.
∵点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在所求双曲线上，
∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)))2,a2)－eq \f(－\r(6)2,25－a2)＝1，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝eq \f(125,4).
当a2＝eq \f(125,4)时，b2＝25－a2＝25－eq \f(125,4)＝－eq \f(25,4)＜0，不符合题意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，
第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，
依题意知，界线是第三类点的轨迹，
设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∵a＝25,2c＝|AB|＝eq \r(1002＋1502－2×100×150×cs 60°)＝50eq \r(7)，
∴c＝25eq \r(7)，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1，
注意到点C的坐标为(25eq \r(7)，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，
故界线的曲线方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1(25≤x≤35，y>0)．
11．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A．3或7 B．6或14 C．3 D．7
答案 A
解析 设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，则ON是△PF1F2的中位线，
∴|ON|＝eq \f(1,2)|PF2|，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
∴|ON|＝eq \f(1,2)|PF2|＝7或3.
12．已知双曲线的两个焦点为F1(－eq \r(10)，0)，F2(eq \r(10)，0)，M是此双曲线上的一点，且满足eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，|eq \(MF1,\s\up6(—→))|·|eq \(MF2,\s\up6(—→))|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,9)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,7)＝1 D.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1
答案 A
解析 ∵eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，
∴eq \(MF1,\s\up6(—→))⊥eq \(MF2,\s\up6(—→))，即MF1⊥MF2，
∴|MF1|2＋|MF2|2＝40.
则(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36.
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.
∵c＝eq \r(10)，∴b2＝c2－a2＝1.
则该双曲线的方程是eq \f(x2,9)－y2＝1.
13．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是( )
A.eq \f(13,14) B．－eq \f(11,14) C.eq \f(11,14) D．－eq \f(13,14)
答案 C
解析 设P(8，y0)在第一象限，eq \f(64,16)－eq \f(y\\al(2,0),9)＝1⇒y0＝3eq \r(3)，
|PF2|＝eq \r(8－52＋3\r(3)2)＝6，
|PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，cs∠F1PF2＝eq \f(142＋62－102,2×14×6)＝eq \f(11,14).
14．若动圆P过定点A(－3,0)且和定圆C：(x－3)2＋y2＝4外切，则动圆圆心P的轨迹方程是________．
答案 x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
解析 设动圆P的半径为r，
由题意得C(3,0)，定圆C的半径为2，
则|PA|＝r，|PC|＝r＋2，所以|PC|－|PA|＝2<|AC|＝6，
所以点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，
则a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8，
所以动圆圆心P的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
15．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,7)＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为( )
A．8 B．9 C．16 D．20
答案 B
解析 △ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)
＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.故选B.
16．已知△OFQ的面积为2eq \r(6)，且eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，其中O为坐标原点．
(1)设eq \r(6)(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|eq \(OF,\s\up6(→))|＝c，m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)－1))c2，当|eq \(OQ,\s\up6(→))|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解 (1)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|\(OF,\s\up6(→))|·|\(FQ,\s\up6(→))|sinπ－θ＝2\r(6)，,|\(OF,\s\up6(→))|·|\(FQ,\s\up6(→))|cs θ＝m，))
所以tan θ＝eq \f(4\r(6),m).
又eq \r(6)即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
Q(x1，y1)，则eq \(FQ,\s\up6(→))＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝eq \f(1,2)|eq \(OF,\s\up6(→))|·|y1|＝2eq \r(6)，则y1＝±eq \f(4\r(6),c).
又eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)－1))c2，
解得x1＝eq \f(\r(6),4)c，
所以|eq \(OQ,\s\up6(→))|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(\f(3,8)c2＋\f(96,c2))≥eq \r(12)＝2eq \r(3)，
当且仅当c＝4时，取等号，|eq \(OQ,\s\up6(→))|最小，
这时Q的坐标为(eq \r(6)，eq \r(6))或(eq \r(6)，－eq \r(6))．
因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,a2)－\f(6,b2)＝1，,a2＋b2＝16，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝12，))
于是所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.