2021学年第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程第1课时导学案

这是一份2021学年第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程第1课时导学案，共10页。学案主要包含了直线的方程的理解，直线的点斜式方程，直线的斜截式方程等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．
导语
同学们，直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、直线、平面间的关系研究几何图形的性质，我们在平面直角坐标系中，建立直线的方程，然后通过方程，研究直线的有关性质，今天我们来探究直线的方程．
一、直线的方程的理解
问题1 已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一．
①已知l1的斜率不存在；②已知l1的斜率不存在且l1过点A(1,2)；③已知l2的斜率为2；
④已知l2的斜率为2且过点B(2,3)．
提示 显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④的直线是唯一的，我们只需找异于B点任意一点P(x，y)，有eq \f(y－3,x－2)＝2，即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都在方程y－3＝2(x－2)上，而满足方程y－3＝2(x－2)上的点也都在直线上．
知识梳理
如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：F(x，y)＝0.
例1 下列各点在二元一次方程x＋2y－1＝0上的是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))
答案 A
解析 将选项A，B，C，D分别代入方程x＋2y－1＝0，检验只有A满足题意．
反思感悟 直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程．
跟踪训练1 已知点A(1，m)在二元一次方程x－y＋1＝0上，则实数m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 因为点A(1，m)在x－y＋1＝0上，故1－m＋1＝0⇒m＝2.
二、直线的点斜式方程
问题2 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？
提示 y－y0＝k(x－x0)．
知识梳理
我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它称为直线的点斜式方程，简称点斜式．
注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
例2 若直线l满足下列条件，求其直线方程．
(1)过点(－1,2)且斜率为3；
(2)过点(－1,2)且与x轴平行；
(3)过点(－1,2)且与x轴垂直；
(4)已知点A(3,3)，B(－1,5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°.
(5)过点(－1,2)且直线的方向向量为a＝(2，－1)．
解 (1)y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5.
(2)y＝2.
(3)x＝－1.
(4)斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，AB的中点为(1,4)，
则该直线的点斜式方程为y－4＝eq \r(3)(x－1)，
即y＝eq \r(3)x－eq \r(3)＋4.
(5)直线的方向向量为a＝(2，－1)，
∴k＝eq \f(－1,2)＝－eq \f(1,2)，
故直线的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x＋1)，
即y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2).
反思感悟 (1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．
(2)当倾斜角为0°，即k＝0时，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y＝y0.
(3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l与y轴平行或重合，直线l的方程是x＝x0.
跟踪训练2 求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(3)过点P(4，－2)，倾斜角为150°.
解 (1)∵直线y＝eq \f(\r(3),3)x的斜率为eq \f(\r(3),3)，
∴直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角为30°.
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为eq \r(3).
∴所求直线方程为y＋3＝eq \r(3)(x－2)，
即eq \r(3)x－y－2eq \r(3)－3＝0.
(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．
但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x＝5.
(3)∵α＝150°，∴k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，
∴直线的点斜式方程为y＋2＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)，
即eq \r(3)x＋3y＋6－4eq \r(3)＝0.
三、直线的斜截式方程
问题3 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．
提示 y＝kx＋b.
知识梳理
1．直线的截距
当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．
2．把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．
例3 (1)(多选)下列四个选项中，正确的是( )
A．任何一条直线在y轴上都有截距
B．直线在y轴的截距一定是正数
C．直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线
D．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1
答案 CD
解析 平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确．直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确．直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确．
(2)根据条件写出下列直线的斜截式方程．
①斜率为2，在y轴上的截距是5；
②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 ①由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
②∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).
由斜截式可得直线方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.
③∵直线的倾斜角为60°，
∴斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.
反思感悟 (1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解．
(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．
跟踪训练3 (1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为________________，在y轴上的截距为________．
答案 y＝－2x＋4 4
解析 y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4.
(2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________________．
答案 y＝－2x＋6
解析 l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2，
故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为y＝－2x＋6.
1.知识清单：
(1)直线的方程与方程的直线．
(2)直线的点斜式方程．
(3)直线的斜截式方程．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：直线的点斜式方程、斜截式方程并不能表示所有直线．
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为eq \r(3)，则此直线方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋eq \r(3) B．y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)
C．y＝－eq \r(3)x－eq \r(3) D．y＝eq \r(3)x－eq \r(3)
答案 A
解析 直线的倾斜角为60°，则其斜率为eq \r(3)，利用斜截式直接写方程．
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b